Problema 1148

Sea A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{pmatrix}, donde a es un parámtro real.

a) Determinar el rango de la matriz A en función del parámetro a.
b) Comprobar que el determinante de A^2+A es 0.


Solución:

a) Calculamos el rango utilizando determinantes:

|A|=\begin{vmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{vmatrix}=-1+2a-a=a-1=0~;\\\\a=1

  • Si a\neq1 entonces rg(A)=3.
  • Si a=1 entonces A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.

b) Dado que A^2+A=A(A+I), calculamos A+I:

A+I=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&2\\1&0&1\\0&a&2\end{pmatrix}

cuyo determinante es 0 ya que la primera fila es proporcional a la segunda.
Sabemos que |A^2+A|=|A(A+I)|. Utilizando la propiedad 3 de los determinantes:

|A^2+A|=|A|\cdot|A+I|=(a-1)\cdot0=0

como queríamos demostrar.

Deja un comentario