Problema 1148

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantes, Propiedades de los determinantes, Rangos de matricesdurán

Sea $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{pmatrix}$ , donde a es un parámtro real.

a) Determinar el rango de la matriz A en función del parámetro a.
b) Comprobar que el determinante de $A^2+A$ es 0.

Solución:

a) Calculamos el rango utilizando determinantes:

$|A|=\begin{vmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{vmatrix}=-1+2a-a=a-1=0~;\\\\a=1$

Si $a\neq1$ entonces rg(A)=3.
Si $a=1$ entonces $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .

b) Dado que $A^2+A=A(A+I)$ , calculamos $A+I$ :

$A+I=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&-1&1\\0&a&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&2\\1&0&1\\0&a&2\end{pmatrix}$

cuyo determinante es 0 ya que la primera fila es proporcional a la segunda.
Sabemos que $|A^2+A|=|A(A+I)|$ . Utilizando la propiedad 3 de los determinantes:

$|A^2+A|=|A|\cdot|A+I|=(a-1)\cdot0=0$

como queríamos demostrar.

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