Problema 1149

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva y=4-x^2 de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

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a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4} nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.


Solución:

a) La cueva está situada en el punto C(0,2), y un punto cualquiera del camino tiene coordenadas P(x,4-x^2).
La distancia f de C a P es:

f(x)=\sqrt{(x-0)^2+(4-x^2-2)^2}~;\\\\f(x)=\sqrt{x^2+(2-x^2)^2}~;\\\\f(x)=\sqrt{x^2+4+x^4-4x^2}~;\\\\\boxed{f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}}


b) Hemos de minimizar la función distancia f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{4x^3-6x}{2\sqrt{x^4-3x^2+4}}=0~;\\\\4x^3-6x=0~;\\\\2x(2x^2-3)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=\pm\sqrt{\frac32}\approx\pm1.22.
Dados estos puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt{\frac32})&(\sqrt{\frac32},2)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, la distancia f presenta un mínimo en x=\sqrt{\frac32}. La coordenada y de dicho punto es:

y=4-\sqrt{\dfrac32}^2=4-\dfrac32=\dfrac52

La longitud de dicho camino de longitud mínima es:

f(\sqrt{\frac32})=\sqrt{\sqrt{\frac32}^4-3\sqrt{\frac32}^2+4}=\sqrt{\dfrac94-\dfrac92+4}=\sqrt{\dfrac74}=\dfrac{\sqrt7}2\text{ u.l.}

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