Problema 1151

Sea la función f(x)=\dfrac1x\cdot\ln(x), en la que ln indica el logaritmo neperiano, definida para x> 0.

a) Calcular las coordenadas del punto de la curva y=f(x) en que la recta tangente a la curva en este punto es horizontal. Estudiar si este punto es un extremo relativo y clasificarlo.
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva y=f(x), las rectas verticales x=1 y x=e, y el eje de abscisas.


Solución:

a) Dado que la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es igual a f'(x_0), y que la pendiente de una recta horizontal es 0, entonces:

f'(x_0)=0

f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}\cdot\ln(x)+\dfrac1x\cdot\dfrac1x=\dfrac{-\ln(x)}{x^2}+\dfrac1{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}

f'(x_0)=\dfrac{1-\ln(x_0)}{x_0^2}=0~;\\\\1-\ln(x_0)=0~;\\\\\ln(x_0)=1~;\\\\x_0=e

Luego, el punto es (e,f(e))=\boxed{\left(e,\frac1e\right)}.
Para estudiar si ese punto crítico es un máximo o un mínimo utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=\dfrac{-\frac1x\cdot x^2-(1-\ln(x))\cdot2x}{x^4}=\dfrac{-x-(1-\ln(x))\cdot2x}{x^4}=\\\\=\dfrac{-1-2(1-\ln(x))}{x^3}=\dfrac{-3+2\ln(x)}{x^3}

En el punto crítico x_0=e:

f''(e)=\dfrac{-3+2}{e^3}<0

Luego, según el test, en x_0=e la función f presenta un máximo.


b) Sabemos de f que está definida en (0,+\infty) donde es continua, solo tiene un punto crítico en x=e, es negativa en (0,1) y positiva en (1,+\infty). Por tanto, el área S pedida es:

\displaystyle S=\int_1^e\dfrac1x\cdot\ln(x)~dx=\left[\dfrac{\ln^2(x)}2\right]_1^e=\dfrac{\ln^2(e)}2-\dfrac{\ln^21}2=\\\\=\dfrac12-0=\dfrac12\text{ u.a.}

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