Problema 1152

Considerar la recta r de ecuación \frac{x-1}2=\frac{y-3}{-2}=\frac z1 y la recta s que pasa por el punto P=(2,-5,1) y que tiene por vector director (-1,0,-1).

a) Estudiar la posición relativa de las rectas r y s.
b) Calcular la ecuación general del plano que es paralelo a la recta r y contiene a la recta s.


Solución:

a) Calculamos el rango de la matriz formada por los vectores directores de r y s:

\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}

El rango de esta matriz es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-2\\-1&0\end{vmatrix}=-2\neq0, luego, ambas rectas o se cortan en un punto o se cruzan.

Escribimos la recta s en paramétricas:

\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda\\y=-5\\z=1-\lambda\end{array}\right.

y sustituimos estas coordenadas en la ecuación continua de r:

\dfrac{2-\lambda-1}2=\dfrac{-5-3}{-2}=\dfrac{1-\lambda}1~;\\\\\dfrac{1-\lambda}2=4=1-\lambda

Por un lado:

\dfrac{1-\lambda}2=4\rightarrow\lambda=-7

y por otro lado:

4=1-\lambda\rightarrow\lambda=-3

Al no tener la misma solución, r y s no se cortan, luego, r y s son dos rectas que se cruzan.


b) En forma vectorial, el plano buscado es:

(x,y,z)=\underbrace{(2,-5,1)+\lambda(-1,0,-1)}_s+\mu\underbrace{(2,-2,1)}_{\vec v_r}

Escribimos el plano en forma general:

\begin{vmatrix}x-2&y+5&z-1\\-1&0&-1\\2&-2&1\end{vmatrix}=(x-2)(-2)+(y+5)(-2+1)+(z-1)(2)=\\\\=-2x+4-y-5+2z-2=0~;\\\\\boxed{-2x-y+2z-3=0}

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