Problema 1154

Dado el sistema de ecuaciones \left\{\begin{array}{rl}x+y+az&=1\\x+ay+z&=1\\ax+y+z&=-2\end{array}\right., siendo a un parámetro real, obtener:

a) El estudio del sistema en función del parámetro a.
b) Las soluciones del sistema cuando a=-2.
c) La solución del sistema cuando a=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&a&1\\1&a&1&1\\a&1&1&-2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{vmatrix}=a+a+a-a^3-1-1=-a^3+3a-2=0

Ecuación de tercer grado cuyas soluciones son a=-2, a=1.

  • Si a\neq-2\text{ y }a\neq1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-2-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&1\\-2&1&-2\end{vmatrix}=4-2+1-4+2-1=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=1 entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1 ya que la segunda y tercera filas son iguales a la primera.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&-2\end{vmatrix}=0
    \begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-2-1\neq0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es incompatible.

b) En el caso a=-2 el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-2z&=1\\x-2y+z&=1\\-2x+y+z&=-2\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y-2z&=1\\x-2y+z&=1\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1+2\lambda\\x-2y&=1-\lambda\end{array}\right.

Si a la primera ecuación le restamos la segunda obtenemos:

3y=3\lambda~;\\\\y=\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación:

x+\lambda=1+2\lambda~;\\\\x=1+\lambda

La solución es \boxed{(x,y,z)=(1+\lambda,\lambda,\lambda)}.


c) El sistema cuando a=0 es:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=1\\x+z&=1\\y+z&=-2\end{array}\right.

que como sabemos es compatible determinado. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\-2&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-2-1-1}{-0^3+3\cdot0-2}=\dfrac{-4}{-2}=2

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&-2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-1+2}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1+2-1}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1

Deja un comentario