Problema 1155

Sea la recta r:~\frac{x-1}1=\frac{y+1}1=\frac z{-1} y los puntos P=(1,0,0)\text{ y }Q=(2,1,\alpha). Obtener:

a) El valor de α para que la recta que pasa por P y Q sea paralela a r.
b) La ecuación del plano que contiene a P y Q y es paralelo a r, cuando α=1.
c) La distancia del punto Q al plano que pasa por P y es perpendicular a r, cuando α=1.


Solución:

a) Calculamos el vector \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(2,1,\alpha)-(1,0,0)=(1,1,\alpha)

El vector director de la recta r es \vec v_r=(1,1,-1).
Aplicamos la condiciones de paralelismo a ambos vectores:

\dfrac11=\dfrac11=\dfrac{\alpha}{-1}

de donde \boxed{\alpha=-1}.


b) Cuando α=1 tenemos que:

\overrightarrow{PQ}=(1,1,1)

El plano buscado sería:

\beta:~(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda(1,1,1)+\mu(1,1,-1)

En forma general:

\begin{vmatrix}x-1&y&z\\1&1&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=(x-1)(-1-1)+y(1+1)+z(1-1)=-2x+2+2y=0~;\\\\\boxed{\beta:~-x+y+1=0}


c) El haz de planos perpendiculares a r es:

x+y-z+D=0

De todos ellos, el plano γ que pasa por P(1,0,0) es:

1+0-0+D=0~;\\\\D=-1~;\\\\\gamma:~x+y-z-1=0

Cuando α=1 tenemos que Q(2,1,1).
La distancia del punto Q al plano γ es:

d(Q,\gamma)=\dfrac{|2+1-1-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac1{\sqrt3}=\boxed{\dfrac{\sqrt3}3\text{ u.l.}}

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Val-MII-O-20-2A

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