Problema 1156

Se da la función real f definida por f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}. Obtener:

a) El dominio y las asíntotas de la función f.
b) La integral \int f(x)~dx, así como la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (2,0).
c) El área de la región limitada por la curva y=f(x) y las rectas y=0,~x=2,~x=4.


Solución:

a) Las raíces del denominador son x=0, x=1, luego, el dominio de f es \mathbb R\setminus\{0,1\}.

Calculamos si existe asíntota vertical en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\dfrac1{0^+\cdot(-1)}=-\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\dfrac1{0^+\cdot(-1)}=-\infty

Sí existe asíntota vertical cuya ecuación es x=0. Calculamos si x=1 es asíntota vertical:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\dfrac2{1\cdot(0^+)}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\dfrac2{1\cdot(0^-)}=-\infty

La recta x=1 también es asíntota vertical.

Calculamos si existe asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+1}{x^3-x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac{x^2}{x^3}+\frac1{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac1x+\frac1{x^3}}{1-\frac1x}=\dfrac01=0

Sí existe asíntota horizontal y su ecuación es y=0.
f no tiene asíntota oblicua.


b) La integral \int\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx es una integral racional. Comenzamos descomponiendo la fracción:

\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\dfrac Ax+\dfrac B{x^2}+\dfrac C{x-1}=\dfrac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)}

de donde:

x^2+1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2

  • Si x=0\rightarrow 1=-B
  • Si x=1\rightarrow 2=C
  • Si x=2\rightarrow 5=2A+B+4C

Tenemos así un sistema cuya solución es: B=-1,~C=2,~A=-1.

Luego la integral es:

\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx=\int\dfrac{-1}x~dx+\int\dfrac{-1}{x^2}~dx+\int\dfrac2{x-1}~dx

La primera y tercera integrales son logarítmicas, la segunda es potencial.

\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx=-\ln|x|+\dfrac1x+2\ln|x-1|+k


c) El área S buscada es:

\displaystyle S=\int_2^4\dfrac{x^2+1}{x^2(x-1)}~dx=\left[-\ln|x|+\dfrac1x+2\ln|x-1|\right]_2^4=\\\\=\left(-\ln(4)+\dfrac14+2\ln(3)\right)-\left(-\ln(2)+\dfrac12+2\ln(1)\right)=\\\\=\ln\left(\frac{3^2\cdot2}4\right)-\dfrac14=\boxed{\ln\left(\frac92\right)-\dfrac14\text{ u.a.}}

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