Se dan las matrices y
, que dependen del parámetro real b. Obtener:
a) Los valores de b para que cada una de las matrices AB y BA tenga inversa.
b) Los valores de b para que la matriz tenga inversa, siendo
la matriz traspuesta de A.
c) La inversa de , cuando dicha inversa exista.
Solución:
a) Calculamos ambos productos:
Para que una matriz tenga inversa su determinante no ha de ser 0. Para calcular determinantes aprovechamos la propiedad 6 de los determinantes:
El determinante de AB es 0 para todo b, luego, AB no tiene inversa sea cual sea el valor de b.
Para que BA tenga inversa ha de ser .
b) Calculamos :
tendrá inversa si su determinante es distinto de 0:
Este determinante nunca se anula, luego, tiene inversa para todo b.
c) Para calcular la matriz inversa utilizamos la fórmula:
Luego:
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