Problema 1157

Se dan las matrices A=\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}, que dependen del parámetro real b. Obtener:

a) Los valores de b para que cada una de las matrices AB y BA tenga inversa.
b) Los valores de b para que la matriz A^tA tenga inversa, siendo A^t la matriz traspuesta de A.
c) La inversa de A^tA, cuando dicha inversa exista.


Solución:

a) Calculamos ambos productos:

AB=\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2b&0\\-b&0&2b\\-1&2b&-4\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\b^2&-4\end{pmatrix}

Para que una matriz tenga inversa su determinante no ha de ser 0. Para calcular determinantes aprovechamos la propiedad 6 de los determinantes:

|AB|=\begin{vmatrix}-3&2b&0\\-b&0&2b\\-1&2b&-4\end{vmatrix}=2b\cdot\begin{vmatrix}-3&1&0\\-b&0&2b\\-1&1&-4\end{vmatrix}=2b^2\cdot\begin{vmatrix}-3&1&0\\-1&0&2\\-1&1&-4\end{vmatrix}=\\\\=2b^2\cdot(-2-4+6)=0

El determinante de AB es 0 para todo b, luego, AB no tiene inversa sea cual sea el valor de b.

|BA|=\begin{vmatrix}-3&2\\b^2&-4\end{vmatrix}=12-2b^2=0~;\\\\b^2=6~;\\\\b=\pm\sqrt6

Para que BA tenga inversa ha de ser b\neq\sqrt6\text{ y }b\neq-\sqrt6.


b) Calculamos A^tA:

A^tA=\begin{pmatrix}1&b&-1\\2&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+b^2&0\\0&8\end{pmatrix}

A^tA tendrá inversa si su determinante es distinto de 0:

\begin{vmatrix}2+b^2&0\\0&8\end{vmatrix}=0~;\\\\8(2+b^2)=0~;\\\\2+b^2=0~;\\\\b=\pm\sqrt{-2}~!!!

Este determinante nunca se anula, luego, A^tA tiene inversa para todo b.


c) Para calcular la matriz inversa utilizamos la fórmula:

(A^tA)^{-1}=\dfrac1{|A^tA|}\cdot(\text{Adj}(A^tA))^t

|A^tA|=8(2+b^2)

\text{Adj}(A^tA)=\begin{pmatrix}8&0\\0&2+b^2\end{pmatrix}

Luego:

(A^tA)^{-1}=\dfrac1{8(2+b^2)}\cdot\begin{pmatrix}8&0\\0&2+b^2\end{pmatrix}

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