Problema 1157

Se dan las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}$ , que dependen del parámetro real b. Obtener:

a) Los valores de b para que cada una de las matrices AB y BA tenga inversa.
b) Los valores de b para que la matriz $A^tA$ tenga inversa, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de A.
c) La inversa de $A^tA$ , cuando dicha inversa exista.

Solución:

a) Calculamos ambos productos:

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2b&0\\-b&0&2b\\-1&2b&-4\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&b&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\b&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\b^2&-4\end{pmatrix}$

Para que una matriz tenga inversa su determinante no ha de ser 0. Para calcular determinantes aprovechamos la propiedad 6 de los determinantes:

$|AB|=\begin{vmatrix}-3&2b&0\\-b&0&2b\\-1&2b&-4\end{vmatrix}=2b\cdot\begin{vmatrix}-3&1&0\\-b&0&2b\\-1&1&-4\end{vmatrix}=2b^2\cdot\begin{vmatrix}-3&1&0\\-1&0&2\\-1&1&-4\end{vmatrix}=\\\\=2b^2\cdot(-2-4+6)=0$