Problema 1158

Se dan el plano \pi:~2x+y-z-5=0 y los puntos A(1,2,-1),~B(2,1,0). Obtener:

a) La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A, B y es perpendicular a π.
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta r que es perpendicular a π y pasa por A. Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta r.
c) La distancia entre el punto B y la recta r.


Solución:

a) El plano α que nos piden contiene al punto A y tiene vectores directores a \overrightarrow{AB} y al vector normal de π: \vec n_\pi.

\bullet~A=(1,2,-1)\\\bullet~\overrightarrow{AB}=(2,1,0)-(1,2,-1)=(1,-1,1)\\\bullet~\vec n_\pi=(2,1,-1)

La ecuación implícita de α es:

\begin{vmatrix}x-1&y-2&z+1\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=(x-1)(1-1)+(y-2)(2+1)+(z+1)(1+2)=0~;\\\\3y-6+3z+3=0~;\\\\\boxed{\alpha:~y+z-1=0}


b) La recta que nos piden pasa por el punto A y tiene por vector director al vector normal de π:

\bullet~A=(1,2,-1)\\\bullet~\vec n_\pi=(2,1,-1)

La recta en paramétricas es:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=2+\lambda\\z=-1-\lambda\end{array}\right.

Para encontrar dos planos cuya intersección sea esta recta pasamos la recta a forma continua y luego a forma implícita. La forma continua de la recta es:

r:~\dfrac{x-1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z+1}{-1}

Y la forma implícita:

\left\{\begin{array}{rl}x-1&=2y-4\\-y+2&=z+1\end{array}\right.\\\\\boxed{r:~\left\{\begin{array}{rl}x-2y+3&=0\\-y-z+1&=0\end{array}\right.}


c) La distancia (fórmula 5) entre el punto B y la recta r es:

d(B,r)=\dfrac{|\vec n_\pi\times\overrightarrow{AB}|}{|\vec n_\pi|}

dado que r pasa por el punto A y tiene vector director \vec n_\pi.

\vec v_\pi\times\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&1&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-1)+\vec\jmath(-1-2)+\vec k(-2-1)=(0,-3,-3)

d(B,r)=\dfrac{\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt6}=\boxed{\sqrt3\text{ u.l.}}

 

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