Problema 1159

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área $A(x)$ del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $A(x),~0\leq x\leq20$ .
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.

Solución:

a) Hacemos una figura como la que se describe:

p1159

El área del triángulo es:

$A(x,h)=\dfrac{x\cdot h}2$

Según el teorema de Pitágoras:

$h=\sqrt{10^2-(\frac x2)^2}~;\\h=\sqrt{100-\frac{x^2}4}=\dfrac{\sqrt{400-x^2}}2$

Luego:

$\boxed{A(x)=\dfrac{x\sqrt{400-x^2}}4}$

b) Para estudiar la monotonía de A, primero calculamos sus puntos críticos.

$A(x)=\dfrac{x\sqrt{400-x^2}}4=\dfrac{\sqrt{400x^2-x^4}}4$

$A'(x)=\dfrac14\cdot\dfrac{800x-4x^3}{2\sqrt{400x^2-x^4}}=\dfrac{200x-x^3}{2\sqrt{400x^2-x^4}}=0~;\\\\200x-x^3=0~;\\\\x(200-x^2)=0$

Ecuación cuyas soluciones son $x=0,~x=\pm10\sqrt2$ .
Teniendo en cuenta estos puntos críticos y el dominio, estudiamos la monotonía de A en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,10\sqrt2)&(10\sqrt2,20)\\\hline\mbox{Signo }A'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }A(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$