Problema 1159

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener:

a) La expresión del área A(x) del triángulo, en función de la longitud x del tercer lado.
b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función A(x),~0\leq x\leq20.
c) La longitud x del tercer lado para que el área del triángulo sea máximo y el valor de este área.


Solución:

a) Hacemos una figura como la que se describe:

p1159

El área del triángulo es:

A(x,h)=\dfrac{x\cdot h}2

Según el teorema de Pitágoras:

h=\sqrt{10^2-(\frac x2)^2}~;\\h=\sqrt{100-\frac{x^2}4}=\dfrac{\sqrt{400-x^2}}2

Luego:

\boxed{A(x)=\dfrac{x\sqrt{400-x^2}}4}


b) Para estudiar la monotonía de A, primero calculamos sus puntos críticos.

A(x)=\dfrac{x\sqrt{400-x^2}}4=\dfrac{\sqrt{400x^2-x^4}}4

A'(x)=\dfrac14\cdot\dfrac{800x-4x^3}{2\sqrt{400x^2-x^4}}=\dfrac{200x-x^3}{2\sqrt{400x^2-x^4}}=0~;\\\\200x-x^3=0~;\\\\x(200-x^2)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0,~x=\pm10\sqrt2.
Teniendo en cuenta estos puntos críticos y el dominio, estudiamos la monotonía de A en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,10\sqrt2)&(10\sqrt2,20)\\\hline\mbox{Signo }A'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }A(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • El área A crece en x\in(0,10\sqrt2).
  • El área A decrece en x\in(10\sqrt2,20).

c) Para que el área del triángulo sea máximo, x=10\sqrt2 cm.
El valor del área en ese caso es:

A(10\sqrt2)=\dfrac{10\sqrt2\cdot\sqrt{400-200}}4=50\text{ cm}^2

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