Problema 1160

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, ,

a) Suponiendo que A y X son matrices cuadradas y que A+I es invertible, despeje X en la ecuación A-X=AX.

b) Si A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}, calcule X tal que A-X=AX.

Solución:

a) Despejamos X de la ecuación:

A-X=AX~;\\\\AX+X=A~;\\\\(A+I)X=A~;\\\\\boxed{X=(A+I)^{-1}A}

b) Como sabemos X=(A+I)^{-1}A:

A+I=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&4\end{pmatrix}

Calculamos (A+I)^{-1} con la fórmula:

(A+I)^{-1}=\dfrac1{|A+I|}\cdot(\text{Adj}(A+I))^t

|A+I|=\begin{vmatrix}1&-1\\1&4\end{vmatrix}=4+1=5

\text{Adj}(A+I)=\begin{pmatrix}4&-1\\1&1\end{pmatrix}

Luego:

(A+I)^{-1}=\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}4&1\\-1&1\end{pmatrix}

y la matriz X es:

X=(A+I)^{-1}A=\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}4&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}=\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\1&4\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\dfrac{A+I}5}

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Gal-MII-O-20-1

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