Problema 1161

Discuta, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x-y+3z&=0\\my+(3-m)z&=-6\\2x-y+mz&=6\end{array}\right.


Solución:

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y la ampliada:

M=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&m&3-m\\2&-1&m\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&-1&3&0\\0&m&3-m&-6\\2&-1&m&6\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

M=\begin{vmatrix}2&-1&3\\0&m&3-m\\2&-1&m\end{vmatrix}=2m^2-2(3-m)-6m+2(3-m)=2m^2-6m=0~;\\\\2m(m-3)=0

Ecuación cuyas soluciones son m=0,~m=3.

  • Si m\neq0\text{ y }m\neq3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, entonces M=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&0&3\\2&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&3\\0&3\end{vmatrix}=-3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&3&0\\0&3&-6\\-1&0&6\end{vmatrix}=-18+18=0
    Luego, rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=3, entonces M=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&3&0\\2&-1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\0&3\end{vmatrix}=6\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}2&-1&0\\0&3&-6\\2&-1&6\end{vmatrix}=36+12-12=36\neq0
    Luego, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

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