Problema 1162

a) Si $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ , diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de $\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$ .

Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en $x=e$ :

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow e^+}ax+b=ae+b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow e^-}\ln(x)=\ln(e)=1\\\bullet~f(e)=\ln(e)=1$

Para que f sea continua en $x=e$ ha de ser $ae+b=1$ .
Calculamos la derivada de f:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac1x&\text{si}&x\in(0,e)\\a&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.$

Estudiamos la dervabilidad de f en $x=e$ :

$\displaystyle\bullet~f'(e^+)=\lim_{x\rightarrow e^+}a=a\\\bullet~f'(e^-)=\lim_{x\rightarrow e^-}\dfrac1x=\dfrac1e$

Para que f sea derivable en $x=e$ debe ser:

$\left\{\begin{array}{l}ae+b=1\\a=\dfrac1e\end{array}\right.$

Sistema cuya solución es $a=\frac1e\text{ y }b=0$ .

b) Conviene hacer la gráfica de f para observar la región cuyo área debemos calcular. f está formada por dos funciones elementales: una es logarítmica y otra es lineal.

p1162

El área S de la región es:

$\displaystyle S=\int_1^e\ln(x)~dx+\int_e^4\dfrac xe~dx$

La primera integral se resuelve integrando por partes (ver aquí), la segunda es de tipo potencial, luego:

$\displaystyle S=\Big[x\ln(x)-x\Big]_1^e+\left[\dfrac{x^2}{2e}\right]_e^4=\\\\=\Big(e\ln(e)-e\Big)-\Big(1\ln(1)-1\Big)+\dfrac{4^2}{2e}-\dfrac{e^2}{2e}=\\\\=\boxed{1+\dfrac{16-e^2}{2e}\text{ u.a.}}$

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Problemas de selectividad resueltos

Problema 1162

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