Problema 1162

a) Si f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\ax+b&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.,  diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de \left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\text{si}&x\in(0,e]\\\frac xe&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right..


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=e:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow e^+}ax+b=ae+b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow e^-}\ln(x)=\ln(e)=1\\\bullet~f(e)=\ln(e)=1

Para que f sea continua en x=e ha de ser ae+b=1.
Calculamos la derivada de f:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac1x&\text{si}&x\in(0,e)\\a&\text{si}&x\in(e,\infty)\end{array}\right.

Estudiamos la dervabilidad de f en x=e:

\displaystyle\bullet~f'(e^+)=\lim_{x\rightarrow e^+}a=a\\\bullet~f'(e^-)=\lim_{x\rightarrow e^-}\dfrac1x=\dfrac1e

Para que f sea derivable en x=e debe ser:

\left\{\begin{array}{l}ae+b=1\\a=\dfrac1e\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=\frac1e\text{ y }b=0.


b) Conviene hacer la gráfica de f para observar la región cuyo área debemos calcular. f está formada por dos funciones elementales: una es logarítmica y otra es lineal.

p1162

El área S de la región es:

\displaystyle S=\int_1^e\ln(x)~dx+\int_e^4\dfrac xe~dx

La primera integral se resuelve integrando por partes (ver aquí), la segunda es de tipo potencial, luego:

\displaystyle S=\Big[x\ln(x)-x\Big]_1^e+\left[\dfrac{x^2}{2e}\right]_e^4=\\\\=\Big(e\ln(e)-e\Big)-\Big(1\ln(1)-1\Big)+\dfrac{4^2}{2e}-\dfrac{e^2}{2e}=\\\\=\boxed{1+\dfrac{16-e^2}{2e}\text{ u.a.}}

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