Problema 1162

a) Si ,  diga qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable.

b) Calcule el área de la región encerrada por el eje X, la recta x=4 y la gráfica de .


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en :

Para que f sea continua en ha de ser .
Calculamos la derivada de f:

Estudiamos la dervabilidad de f en :

Para que f sea derivable en debe ser:

Sistema cuya solución es .


b) Conviene hacer la gráfica de f para observar la región cuyo área debemos calcular. f está formada por dos funciones elementales: una es logarítmica y otra es lineal.

El área S de la región es:

La primera integral se resuelve integrando por partes (ver aquí), la segunda es de tipo potencial, luego:

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