Problema 1163

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4-x^2, un cateto sobre el eje X y el otro paralelo al eje Y, obtenga los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.

b) Enuncie los teoremas de Bolzano y Rolle.


Solución:

a) La función y=4-x^2 es una parábola cóncava cuyo vértice es (0,4) y corta al eje x en los puntos (2,0) y (-2,0).
Representamos la parábola y el triángulo planteado en el enunciado:

p1163

El área del triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por 2:

A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}2

Dado que y=4-x^2:

A(x)=\dfrac{x(4-x^2)}2=\dfrac{4x-x^3}2

Para maximizar la función área comenzamos calculando sus puntos críticos:

A'(x)=\dfrac{4-3x^2}2=0~;\\\\4-3x^2=0~;\\\\x^2=\dfrac43~;\\\\x=\pm\dfrac{2\sqrt3}3

Del primer cuadrante la solución y longitud del cateto horizontal es \boxed{x=\dfrac{2\sqrt3}3}. El cateto vertical es:

y=4-\dfrac43=\boxed{\dfrac83}

La hipotenusa h es:

h=\sqrt{\frac43+(\frac83)^2}=\boxed{\sqrt{\frac{76}9}}


b) Véase el teorema de Bolzano y véase el teorema de Rolle.

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