Problema 1164

a) Estudie la posición relativa de los planos \pi_1:~mx-y+2=0\text{ y }\pi_2:~2x+3y=0 en función del parámetro m.

b) Obtenga la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A(0,0,0), B(1,0,1) y C(0,1,0).


Solución:

a) Recordar la teoría sobre la posición relativa de dos planos en el espacio.
Con las ecuaciones implícitas de los planos formamos un sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}mx-y&=-2\\2x+3y&=0\end{array}\right.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

M=\begin{pmatrix}m&-1&0\\2&3&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}m&-1&0&-2\\2&3&0&0\end{pmatrix}

Discutimos el sistema en función de los valores del parámetro m.

\begin{vmatrix}m&-1\\2&3\end{vmatrix}3m+2=0~;\\\\m=\dfrac{-2}3

  • Si m\neq\frac{-2}3 entonces rg(M)=2, y los dos planos se cortan según una recta.
  • Si m=\frac{-2}3 entonces M=\begin{pmatrix}-2/3&-1&0\\2&3&0\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que la segunda fila es proporcional a la primera.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}-2/3&-1&0&-2\\2&3&0&0\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}-1&-2\\3&0\end{vmatrix}=6\neq0
    Luego, el rango de M* es 2, y los dos planos son paralelos.

b) El plano buscado pasa por el punto A(0,0,0) y tiene los vectores directores:

\overrightarrow{AB}=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1)\\\overrightarrow{AC}=(0,1,0)-(0,0,0)=(0,1,0)

Calculamos la forma implícita del dicho plano:

\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=z-x=0~;\\\\\boxed{x-z=0}

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