Problema 1165

a) Obtenga la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1,-3,0) y es perpendicular a la recta \left\{\begin{array}{rl}x-y+2z&=1\\y-z&=0\end{array}\right..

b) Calcule la distancia del punto Q(1,1,1) al plano \pi:~-x+y+z+4=0 y el punto simétrico de Q respecto a π.


Solución:

a) Calculamos el vector director de la recta:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&2\\0&1&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-2)+\vec\jmath+\vec k=(-1,1,1)

El haz de planos perpendicular a la recta es de la forma -x+y+z+D=0.
El plano debe pasar por el punto P(1,-3,0):

-1+(-3)+0+D=0~;\\\\-4+D=0~;\\\\D=4

El plano buscado es \boxed{-x+y+z+4=0}.


b) La distancia es:

d(Q,\pi)=\dfrac{|-1+1+1+4|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\boxed{\dfrac5{\sqrt3}\text{ u.l.}}

Para obtener el punto simétrico de Q respecto de π necesitamos una recta s perpendicular a π que pase por Q.

p843

Dicha recta s tiene la forma vectorial (x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(-1,1,1), o en forma paramétrica:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda\\y=1+\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M donde s corta con π sustituyendo las paramétricas de s en la implícita de π y resolviendo:

-(1-\lambda)+(1+\lambda)+(1+\lambda)+4=0~;\\\\3\lambda+5=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-5}3

Sustituimos en las paramétricas de s para obtener M:

M=(1-\frac{-5}3,1+\frac{-5}3,1+\frac{-5}3)=(\frac83,\frac{-2}3,\frac{-2}3)

Aplicando la fórmula del punto medio obtenemos el simétrico de Q respecto π:

M=\dfrac{Q+Q'}2~;\\\\Q'=2M-Q~;\\\\Q'=(\frac{16}3,\frac{-4}3,\frac{-4}3)-(1,1,1)~;\\\\\boxed{Q'=\left(\frac{13}3,\frac{-7}3,\frac{-7}3\right)}

Gal-MII-O-20-6

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