Problema 1168

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}x+ay+z&=a+1\\-ax+y-z&=2a\\-y+z&=a\end{array}\right.

Se pide:

a) Discutir el sistema según los diferentes valores de a.
b) Resolver el sistema para a=0.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&a&1\\-a&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&a&1&a+1\\-a&1&-1&2a\\0&-1&1&a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&a&1\\-a&1&-1\\0&-1&1\end{vmatrix}=1+a+a^2-1=a+a^2=a(1+a)

Determinante cuyas raíces son a=0 y a=-1, luego:

  • Si a\neq0\text{ y }a\neq-1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0 entonces M=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&-1&0\end{vmatrix}=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-1 entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=1+1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}1&-1&1&0\\1&1&-1&-2\\0&-1&1&-1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&1&-2\\0&-1&-1\end{vmatrix}=-1-1-2=-4\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=0 tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\y-z&=0\\-y+z&=0\end{array}\right.

es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\y-z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{rl}x&=1-\lambda\\y&=\lambda\end{array}\right.

La solución del sistema es (x,y,z)=(1-\lambda,\lambda,\lambda).

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