Problema 1169

Dadas las funciones f(x)=x^3+3x^2-1\text{ y }g(x)=6x, se pide:

a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) con pendiente mínima.
c) Calcular \displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{g(x)}~dx.


Solución:

a) Si f(x)=g(x) en algún punto del intervalo [1,10], entonces f(x)-g(x)=0 en algún punto de ese intervalo:

f(x)-g(x)=x^3+3x^2-6x-1=0

Definimos h(x)=f(x)-g(x) que es continua en \mathbb R por ser una función polinómica. Utilizando el teorema de Bolzano:

  • h(1)=1^3+3\cdot1^2-6\cdot1-1=-3
  • h(10)=10^3+3\cdot10^2-6\cdot10-1=1239

Tenemos que h(1)\cdot h(10)<0. Dado que h cumple con las condiciones del teorema de Bolzano, existe c\in(1,10) tal que h(c)=0, o lo que es lo mismo existe c\in(1,10) tal que f(c)=g(c).


b) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

La pendiente de la recta tangente es en cualquier punto f'(x). La llamamos m(x).
El punto donde se minimiza la pendiente cumple que m'(x)=0, entonces:

f(x)=x^3+3x^2-1~;\\\\f'(x)=3x^2+6x=m(x)~;\\\\m'(x)=6x+6=0~;\\\\6(x+1)=0

Ecuación cuya solución es x_0=-1. Nos aseguramos de que ese punto crítico da lugar a un mínimo utilizando el test de la derivada segunda:

m''(x)=6~;\\\\m''(-1)=6>0

Efectivamente, en x_0=-1 la pendiente de la recta tangente a f alcanza un valor mínimo. Calculamos la ecuación de la recta tangente a f en el punto x_0=-1:

\bullet~f(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2-1=1\\\bullet~f'(-1)=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)=-3

y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)~;\\\\y=(-3)(x+1)+1~;\\\\\boxed{y=-3x-2}


c) Calculamos la integral:

\displaystyle\int_1^2\dfrac{x^3+3x^2-1}{6x}~dx=\int_1^2\dfrac{x^3}{6x}~dx+\int_1^2\dfrac{3x^2}{6x}~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\\\\=\int_1^2\dfrac{x^2}6~dx+\int_1^2\dfrac x2~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\left[\dfrac{x^3}{18}+\dfrac{x^2}4-\dfrac16\ln|x|\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{2^3}{18}+\dfrac{2^2}4-\dfrac16\ln(2)\right)-\left(\dfrac{1^3}{18}+\dfrac{1^2}4-\dfrac16\ln(1)\right)=\\\\=\boxed{\dfrac{41}{36}-\dfrac16\ln(2)}

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