a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor. b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva con pendiente mínima. c) Calcular .
Solución:
a) Si en algún punto del intervalo [1,10], entonces en algún punto de ese intervalo:
Definimos que es continua en por ser una función polinómica. Utilizando el teorema de Bolzano:
Tenemos que . Dado que h cumple con las condiciones del teorema de Bolzano, existe tal que , o lo que es lo mismo existe tal que .
b) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa es:
La pendiente de la recta tangente es en cualquier punto . La llamamos . El punto donde se minimiza la pendiente cumple que , entonces:
Ecuación cuya solución es . Nos aseguramos de que ese punto crítico da lugar a un mínimo utilizando el test de la derivada segunda:
Efectivamente, en la pendiente de la recta tangente a f alcanza un valor mínimo. Calculamos la ecuación de la recta tangente a f en el punto :
![\displaystyle\int_1^2\dfrac{x^3+3x^2-1}{6x}~dx=\int_1^2\dfrac{x^3}{6x}~dx+\int_1^2\dfrac{3x^2}{6x}~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\\\\=\int_1^2\dfrac{x^2}6~dx+\int_1^2\dfrac x2~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\left[\dfrac{x^3}{18}+\dfrac{x^2}4-\dfrac16\ln|x|\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{2^3}{18}+\dfrac{2^2}4-\dfrac16\ln(2)\right)-\left(\dfrac{1^3}{18}+\dfrac{1^2}4-\dfrac16\ln(1)\right)=\\\\=\boxed{\dfrac{41}{36}-\dfrac16\ln(2)}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%5Cint_1%5E2%5Cdfrac%7Bx%5E3%2B3x%5E2-1%7D%7B6x%7D%7Edx%3D%5Cint_1%5E2%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B6x%7D%7Edx%2B%5Cint_1%5E2%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D%7B6x%7D%7Edx-%5Cint_1%5E2%5Cdfrac1%7B6x%7D%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_1%5E2%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D6%7Edx%2B%5Cint_1%5E2%5Cdfrac+x2%7Edx-%5Cint_1%5E2%5Cdfrac1%7B6x%7D%7Edx%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B18%7D%2B%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D4-%5Cdfrac16%5Cln%7Cx%7C%5Cright%5D_1%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B2%5E3%7D%7B18%7D%2B%5Cdfrac%7B2%5E2%7D4-%5Cdfrac16%5Cln%282%29%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B1%5E3%7D%7B18%7D%2B%5Cdfrac%7B1%5E2%7D4-%5Cdfrac16%5Cln%281%29%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7B41%7D%7B36%7D-%5Cdfrac16%5Cln%282%29%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle\int_1^2\dfrac{x^3+3x^2-1}{6x}~dx=\int_1^2\dfrac{x^3}{6x}~dx+\int_1^2\dfrac{3x^2}{6x}~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\\\\=\int_1^2\dfrac{x^2}6~dx+\int_1^2\dfrac x2~dx-\int_1^2\dfrac1{6x}~dx=\left[\dfrac{x^3}{18}+\dfrac{x^2}4-\dfrac16\ln|x|\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{2^3}{18}+\dfrac{2^2}4-\dfrac16\ln(2)\right)-\left(\dfrac{1^3}{18}+\dfrac{1^2}4-\dfrac16\ln(1)\right)=\\\\=\boxed{\dfrac{41}{36}-\dfrac16\ln(2)}")