Dadas las funciones , se pide:
a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva con pendiente mínima.
c) Calcular .
Solución:
a) Si en algún punto del intervalo [1,10], entonces
en algún punto de ese intervalo:
Definimos que es continua en
por ser una función polinómica. Utilizando el teorema de Bolzano:
Tenemos que . Dado que h cumple con las condiciones del teorema de Bolzano, existe
tal que
, o lo que es lo mismo existe
tal que
.
b) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa es:
La pendiente de la recta tangente es en cualquier punto . La llamamos
.
El punto donde se minimiza la pendiente cumple que , entonces:
Ecuación cuya solución es . Nos aseguramos de que ese punto crítico da lugar a un mínimo utilizando el test de la derivada segunda:
Efectivamente, en la pendiente de la recta tangente a f alcanza un valor mínimo. Calculamos la ecuación de la recta tangente a f en el punto
:
c) Calculamos la integral:
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