Problema 1170

Dadas las rectas r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x-y&=2\\3x-z&=-1\end{array}\right.\qquad s\equiv~\left\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda\\y=-4-\lambda\\z=\lambda\end{array}\right., se pide:

a) Calcular la posición relativa de las rectas r y s.
b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P(2,-1,5).
c) Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta r que contiene a la recta s.


Solución:

a) Calculamos la posición relativa como se explica aquí.
Pasamos la recta r a paramétricas haciendo el cambio x=\mu:

\left\{\begin{array}{rl}x-y&=2\\3x-z&=-1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}-y&=2-\mu\\-z&=-1-3\mu\end{array}\right.

de donde:

r\equiv~\left\{\begin{array}{l}x=\mu\\y=-2+\mu\\z=1+3\mu\end{array}\right.

Escribimos los vectores directores y un punto de cada recta:

r:~\left\{\begin{array}{l}\vec v_r=(1,1,3)\\P_r=(0,-2,1)\end{array}\right.\qquad s:~\left\{\begin{array}{l}\vec v_s=(2,-1,1)\\P_s=(-1,-4,0)\end{array}\right.

Calculamos el vector \overrightarrow{P_rP_s}:

\overrightarrow{P_sP_r}=(0,-2,1)-(-1,-4,0)=(1,2,1)

Calculamos el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&-1&1\end{pmatrix}. El rango de esta matriz es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-1-2\neq0.

Calculamos el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_sP_r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&-1&1\\1&2&1\end{pmatrix}:

\begin{vmatrix}1&1&3\\2&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix}=-1+1+12+3-2-2=11\neq0

Luego, \text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_sP_r}\end{pmatrix}=3 y las rectas se cruzan sin cortarse.


b) La ecuación del haz de planos perpendicular a r es:

x+y+3z+D=0

Sustituimos las coordenadas de P(2,-1,5) en el haz, y resolvemos:

2+(-1)+3\cdot5+D=0~;\\\\16+D=0~;\\\\D=-16

Luego, el plano buscado es x+y+3z-16=0.


c) El plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r es en forma vectorial:

(x,y,z)=(-1,-4,0)+\lambda(2,-1,1)+\mu(1,1,3)

y en forma general:

\begin{vmatrix}x+1&y+4&z\\2&-1&1\\1&1&3\end{vmatrix}=(x+1)(-3-1)+(y+4)(1-6)+z(2+1)=\\\\=-4(x+1)-5(y+4)+3z=-4x-4-5y-20+3z=0~;\\\\\boxed{-4x-5y+3z-24=0}

Mad-MII-O-20-A3

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