Problema 1171

Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana. La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30%. En los lanzamientos sucesivos la punterı́a se va afinando, de manera que en el segundo es del 40%, en el tercero del 50% y en el cuarto del 60%. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto disparo.
b) Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.
c) En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan un 85% de sus lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al primer disparo.


Solución:

a) Sea A_i el suceso «acertar en el lanzamiento i«, y F_i el suceso «fallar en el lanzamiento i«.
La probabilidad de acertar antes del cuarto lanzamiento es la probabilidad de acertar en el primero, P[A_1], más la probabilidad de acertar en el segundo pero no en el primero, P[F_1\cap A_2], más la probabilidad de acertar en el tercero pero no en los anteriores, P[F_1\cap F_2\cap A_3], siendo:

\bullet~P[A_1]=0.3\\\bullet~P[F_1]=1-0.3=0.7\\\bullet~P[A_2]=0.4\\\bullet~P[F_2]=1-0.4=0.6\\\bullet~P[A_3]=0.5\\\bullet~P[F_3]=1-0.5=0.5

Luego, la probabilidad de acertar antes del cuarto lanzamiento es:

P[A_1]+P[F_1\cap A_2]+P[F_1\cap F_2\cap A_3]=0.3+0.7\cdot0.4+0.7\cdot0.6\cdot0.5=\\\\=0.3+0.28+0.21=0.79


b) Dado que:

\bullet~P[A_4]=0.6\\\bullet~P[F_4]=1-0.6=0.4

la probabilidad de que los cuatro lanzamientos sean fallados es:

P[F_1\cap F_2\cap F_3\cap F_4]=0.7\cdot0.6\cdot0.5\cdot0.4=0.084


c) Se trata de un problema de distribución binomial B(n,p) donde tenemos n=10 lanzamientos con una probabilidad de acierto de p=0.85.
La probabilidad de que de 10 lanzamientos haya 6 aciertos es:

\displaystyle{10\choose 6}\cdot0.85^6\cdot(1-0.85)^{10-6}=210\cdot0.377\cdot0.000506=0.0401

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