Problema 1172

Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de 275.8 millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de 13740 toneladas de doradas y 23440 toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron 7400 toneladas por un valor de 63.6 millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue 11 céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado anteriores.


Solución:

Sean x, y, z los precios en euros por kilo de dorada, lubina y rodaballo respectivamente.
En 2016 se vendieron 13740 toneladas de doradas, 23440 toneladas de lubinas y 7400 toneladas de rodaballos por 275.8 millones de euros:

13740000x+23440000y+7400000z=275800000

El kilo de dorada fue 11 céntimos más caro que el kilo de lubina:

x=y+0.11

Las 7400 toneladas de rodaballos se vendieron por 63.6 millones de euros:

7400000z=63600000

Con estas tres ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}1374x+2344y+740z&=27580\\x-y&=0.11\\74z&=636\end{array}\right.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1374&2344&740\\1&-1&0\\0&0&74\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1374&2344&740&27580\\1&-1&0&0.11\\0&0&74&636\end{pmatrix}

El determinante de la matriz de coeficientes es:

\begin{vmatrix}1374&2344&740\\1&-1&0\\0&0&74\end{vmatrix}=-101676-173456=-275132\neq0

Luego, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}27580&2344&740\\0.11&-1&0\\636&0&74\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1374&2344&740\\1&-1&0\\0&0&74\end{vmatrix}}=\dfrac{-2040920+470640-19080}{-275132}=\\\\=\dfrac{-1589360}{-275132}=5.78

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1374&27580&740\\1&0.11&0\\0&636&74\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1374&2344&740\\1&-1&0\\0&0&74\end{vmatrix}}=\dfrac{11184+470640-2040920}{-275132}=\dfrac{-1559096}{-275132}=5.67

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1374&2344&27580\\1&-1&0.11\\0&0&636\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1374&2344&740\\1&-1&0\\0&0&74\end{vmatrix}}=\dfrac{-873864-1490784}{-275132}=\dfrac{-2364648}{-275132}=8.59

El precio por kilo de dorada, lubina y rodaballo por kilo es de 5.78, 5.67 y 8.59 euros respectivamente.

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