Sea la función:
a) Estudie su continuidad en [-4,4].
b) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].
c) Determine si la función está definida, es continua y es derivable en x=1.
Solución:
a) Las funciones parciales son polinómicas por lo que f es continua para . Estudiamos la continuidad en x=1:
Luego f es continua en x=1, y en general en [-4,4].
b) Calculamos la derivada de f:
Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:
Luego f es derivable en x=1.
Estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
- f decrece en (-4,1)
- f crece en (1,4)
c) Según se ve en el apartado b), no está definida en x=1, por lo que no es continua ni derivable en x=1. Presenta una discontinuidad evitable.
Definiendo , tenemos
que es continua en x=1.
Para estudiar su derivabilidad, calculamos su derivada:
Luego g no es derivable en x=1.
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