Problema 1173

Sea la función:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}(x-1)^2&\text{si}&x\leq1\\(x-1)^3&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

a) Estudie su continuidad en [-4,4].
b) Analice su derivabilidad y crecimiento en [-4,4].
c) Determine si la función $g(x)=f'(x)$ está definida, es continua y es derivable en x=1.

Solución:

a) Las funciones parciales son polinómicas por lo que f es continua para $x\neq1$ . Estudiamos la continuidad en x=1:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}(x-1)^3=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}(x-1)^2=0\\\bullet~f(1)=(1-1)^2=0$

Luego f es continua en x=1, y en general en [-4,4].

b) Calculamos la derivada de f:

$f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2(x-1)&\text{si}&x<1\\3(x-1)^2&\text{si}&x>1\end{array}\right.$

Estudiamos la derivabilidad de f en x=1:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}3(x-1)^2=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}2(x-1)=0$

Luego f es derivable en x=1.
Estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-4,1)&(1,4)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

f decrece en (-4,1)
f crece en (1,4)

c) Según se ve en el apartado b), $g(x)=f'(x)$ no está definida en x=1, por lo que no es continua ni derivable en x=1. Presenta una discontinuidad evitable.
Definiendo $g(1)=0$ , tenemos $g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2(x-1)&\text{si}&x\leq1\\3(x-1)^2&\text{si}&x>1\end{array}\right.$ que es continua en x=1.
Para estudiar su derivabilidad, calculamos su derivada: