Problema 1174

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Dados los puntos P(-3,1,2) y Q(-1,0,1) y el plano π de ecuación x+2y-3z=4, se pide:

a) Hallar la proyección de Q sobre π.
b) Escribir la ecuación del plano paralelo a π que pasa por el punto P.
c) Escribir la ecuación del plano perpendicular a π que contiene a los puntos P y Q.

Solución:

a) Construimos una recta r perpendicular a π, cuyo vector normal es \vec n=(1,2,-3), que pasa por Q(-1,0,1):

r:~(x,y,z)=(-1,0,1)+\lambda(1,2,-3)\\\\r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\y=2\lambda\\z=1-3\lambda\end{array}\right.

Sustituimos en la implícita de π y resolvemos:

(-1+\lambda)+2(2\lambda)-3(1-3\lambda)=4~;\\\\-4+14\lambda=4~;\\\\\lambda=\dfrac8{14}=\dfrac47

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos Q:

\boxed{Q=\left(\dfrac{-3}7,\dfrac87,\dfrac{-5}7\right)}

b) El haz de planos paralelos a π es:

x+2y-3z=D

Sustituimos las coordenadas del punto P(-3,1,2) y resolvemos:

-3+2\cdot1-3\cdot2=D~;\\\\D=-7

El plano buscado es \boxed{x+2y-3z=-7}.

c) Necesitamos el vector \overrightarrow{PQ}:

\overrightarrow{PQ}=(-1,0,1)-(-3,1,2)=(2,-1,-1)

El plano buscado es:

(x,y,z)=(-1,0,1)+\lambda(2,-1,-1)+\mu(1,2,-3)

y en forma general:

\begin{vmatrix}x+1&y&z-1\\2&-1&-1\\1&2&-3\end{vmatrix}=(x+1)(3+2)+y(-1+6)+(z-1)(4+1)=\\\\=5x+5y+5z=0~;\\\\\boxed{x+y+z=0}

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