Problema 1175

Se consideran dos sucesos A y B tales que P (A) = 0.5, P (B) = 0.25 y P (A ∩ B) = 0.125. Responder de manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos:

a) Sea C otro suceso, incompatible con A y con B. ¿Son compatibles los sucesos C y A ∪ B?
b) ¿Son A y B independientes?
c) Calcular la probabilidad P(\overline A\cap\overline B) (donde Ā denota el suceso complementario al suceso A).
d) Calcular P(\overline B|A).


Solución:

a) Los sucesos C y A son incompatibles, C\cap A=\phi, y los sucesos C y B también son incompatibles, C\cap B=\phi. Aplicando la propiedad distributiva:

C\cap(A\cup B)=(C\cap A)\cup(C\cap B)=\phi\cup\phi=\phi

Luego, el suceso C también es incompatible con el suceso A ∪ B.


b) Dos sucesos A y B son independientes si P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B].

\bullet~P[A\cap B]=0.125\\\bullet~P[A]\cdot P[B]=0.5\cdot0.25=0.125

por lo que A y B son independientes.


c) Utilizando una de las leyes de Morgan:

P[\overline A\cap\overline B]=P[\overline{A\cup B}]=1-P[A\cup B]\qquad(1)

La probabilidad de la unión es:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]=0.5+0.25-0.125=0.625

Sustituyendo en (1):

P[\overline A\cap\overline B]=1-0.625=0.375


d) Nos piden la probabilidad condicionada P[\overline B/A]:

P[\overline B/A]=\dfrac{P[A\cap\overline B]}{P[A]}=\dfrac{P[A]-P[A\cap B]}{P[A]}=\dfrac{0.5-0.125}{0.5}=0.75

Mad-MII-O-20-B4

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