Problema 1176

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+(m+1)z&=2\\x+(m-1)y+2z&=1\\2x+my+z&=-1\end{array}\right.

Discuta el sistema según los valores de m\in\mathbb R.


Solución:

Discutimos el sistema utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&m+1&2\\1&m-1&2&1\\2&m&1&-1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{vmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{vmatrix}=m-1+4+m(m+1)-2(m+1)(m-1)-1-2m=\\\\=m+2+m^2+m-2(m^2-1)-2m=2-m^2+2=4-m^2

Determinante que se anula para m=\pm2.

  • Si m\neq2\text{ y }m\neq-2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&1&2\\2&2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=2-3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&3&2\\1&2&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=-2+6+2-8+3-1=0
    Luego, rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-3&2\\2&-2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-3\end{vmatrix}=-3-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&2\\1&-3&1\\2&-2&-1\end{vmatrix}=3+2-4+12+1+2=16\neq0
    Luego, rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

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