Problema 1177

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II, ,

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}:

a) Calcule, si es posible, (A\cdot B^t)^{-1}.
b) Compruebe que, C^3=I, donde I es la matriz identidad, y calcule C^{16}.

Solución:

a) En primer lugar calculamos A\cdot B^t:

A\cdot B^t=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}

Llamamos D a esta matriz y calculamos su inversa con la siguiente fórmula:

D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj}D)^t

|D|=-4\\\\\text{Adj}D=\begin{pmatrix}0&-1\\-4&3\end{pmatrix}

Luego:

(A\cdot B^t)^{-1}=D^{-1}=\dfrac1{-4}\cdot\begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix}

b) Comprobamos que C^3=I:

C^2=C\cdot C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}

C^3=C^2\cdot C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Para calcular C^{16} dividimos 16 entre 3, dando cociente 5 y resto 1. Teniendo en cuenta el resto:

C^{16}=C^1=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}

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