Problema 1178

Resuelva el sistema matricial \left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\\2X+3Y&=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}\end{array}\right.


Solución:

Sea A=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix} entonces el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.

Multiplicamos por 2 la primera ecuación:

\left\{\begin{array}{rl}2X-4Y&=2A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera obtenemos:

7Y=B-2A

de donde

Y=\dfrac17\cdot(B-2A)=\dfrac17\cdot\left[\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\right]~;\\\\Y=\dfrac17\cdot\begin{pmatrix}7&0&-7\\14&7&7\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{Y=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}}

Dado que X-2Y=A, entonces:

X=A+2Y=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}}

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