Problema 1179

Se considera la recta r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta r y que pasa por el punto (0,0,1).
b) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores \vec u,~\vec v\text{ y }\vec u\times\vec v. Sabiendo que \vec u\times\vec v=(-1,1,1), calcule el volumen de dicho paralelepípedo.


Solución:

a) La ecuación del haz de planos que contiene a r es:

(x+z-1)+\lambda(2x+y-3)=0

Sustituimos las coordenadas del punto (0,0,1) en el haz y resolvemos:

(0+1-1)+\lambda(2\cdot0+0-3)=0~;\\\\-3\lambda=0~;\\\\\lambda=0

Sustituimos λ=0 en la ecuación del haz y tenemos el plano que contiene a r y pasa por (0,0,1):

\boxed{x+z-1=0}


b) El volumen de un paralelepípedo formado por 3 vectores \vec a,~\vec b,~\vec c es el módulo del producto mixto de esos 3 vectores. Pero, en este caso particular, el paralelepípedo es un prisma recto ya que \vec u\times\vec v es perpendicular a los vectores \vec u\text{ y }\vec v.
Los vectores \vec u\text{ y }\vec v forman la base del prisma recto cuyo área es: |\vec u\times\vec v|.
La altura del prisma es |\vec u\times\vec v|.
El volumen de un prisma es el área de la base multiplicado por su altura, luego el volumen es:

V=A_b\cdot H=|\vec u\times\vec v|^2

Dado que \vec u\times\vec v=(-1,1,1), entonces:

V=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}^2=\boxed{3\text{ u.v.}}

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