Problema 1181

Se considera la siguiente función: f(x)=\dfrac{x^2}{1-e^{-x}}. Estudie la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan.


Solución:

Comenzamos calculando el dominio de f:

1-e^{-x}=0~;\\e^{-x}=1~;\\-x=\ln 1~;\\x=0

El dominio de f es \mathbb R\setminus\{0\}.
Calculamos si existe asíntota vertical en x=0 (utilizamos la regla de L’Hôpital para resolver las indeterminaciones 0/0 e ∞/∞):

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2}{1-e^{-x}}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{2x}{e^{-x}}=\dfrac01=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x^2}{1-e^{-x}}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2x}{e^{-x}}=\dfrac01=0

f no tiene asíntota vertical.
Calculamos la asíntota horizontal si la tiene:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{1-e^{-x}}=\dfrac{+\infty}1=+\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{1-e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac2{-e^{-x}}=\dfrac2{-\infty}=0

Cuando x\rightarrow-\infty la función f tiene a la asíntota horizontal de ecuación y=0.

Calculamos la existencia de asíntota oblicua (y=mx+n) de f cuando x\rightarrow+\infty:

\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x(1-e^{-x})}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{1-e^{-x}}=\dfrac{+\infty}1=+\infty

Luego f no tiene asíntota oblicua.

Deja un comentario