Problema 1182

Se considera la siguiente función f(x)=\ln(2x+1).

a) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Halle la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=\frac12.


Solución:

a) El dominio de f es el conjunto de todos los números reales tales que:

2x+1>0~;\\\\2x>-1~;\\\\x>\dfrac{-1}2

Es decir, \text{Dom }(f)=(\frac{-1}2,+\infty).
Estudiamos la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac2{2x+1}=0~;\\\\2=0!!!

f no tiene puntos críticos, luego, teniendo en cuenta solo el dominio, estudiamos la monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|}\hline x&(\frac{-1}2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

f es creciente en todo su dominio.


b) La ecuación de la recta tangente a la función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Para x_0=\frac12 tenemos:

\bullet~f(\frac12)=\ln(2\cdot\frac12+1)=\ln2\\\bullet~f'(\frac12)=\dfrac2{2\cdot\frac12+1}=\dfrac22=1

La ecuación de la recta tangente resulta:

y=1(x-\frac12)+\ln2~;\\\boxed{y=x+\left(\ln2-\frac12\right)}

Deja un comentario