Problema 1183

Calcule la siguiente integral: \displaystyle\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx.


Solución:

Hacemos un cambio de variable:

x=t^2\rightarrow dx=2t~dt

Sea I la integral a resolver:

\displaystyle I=\int\left(\sqrt x\cdot\ln^2x\right)~dx=\int\left(\sqrt{t^2}\cdot\ln^2t^2\right)2t~dt=\int2t^2\ln^2t^2~dt

Utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln^2t^2&\rightarrow&du=2\ln t^2\cdot\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{4\ln t^2}t\\dv=2t^2~dx&\rightarrow&v=\dfrac{2t^3}3\end{array}

\displaystyle I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\int\dfrac{2t^3}3\dfrac{4\ln t^2}t~dt=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\underbrace{\int\dfrac{8t^2\ln t^2}3~dt}_{I_1}\qquad(1)

Utilizamos el método de integración por partes para calcular la integral I_1:

\begin{array}{lcl}u=\ln t^2&\rightarrow&du=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac2t\\dv=\dfrac{8t^2}3~dt&\rightarrow&v=\dfrac{8t^3}9\end{array}

\displaystyle I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{8t^3}9\dfrac2t~dt=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\int\dfrac{16t^2}9~dt~;\\\\I_1=\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1

Sustituyendo en (1):

I=\dfrac{2t^3\ln^2t^2}3-\left(\dfrac{8t^3\ln t^2}9-\dfrac{16t^3}{27}+k_1\right)~;\\\\I=\dfrac{18t^3\ln^2t^2-24t^3\ln t^2+16t^3}{27}+k~;\\\\I=2t^3\cdot\dfrac{9\ln^2t^2-12\ln t^2+8}{27}+k

Sabiendo que x=t^2, tenemos que t^3=x\sqrt x. Deshacemos el cambio de variable:

\boxed{I=2x\sqrt x\cdot\dfrac{9\ln^2x-12\ln x+8}{27}+k}

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