Problema 1186

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora?
b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada artículo.


Solución:

a) Sea x el precio del libro, sea y el precio de la calculadora y sea z el precio del estuche.
Los tres artículos valen 57 euros:

El libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos:

Tenemos así un sistema de 2 ecuaciones con 3 variables:

Teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius, dado que la matriz de coeficientes no puede tener rango 3 siendo n=3, entonces el sistema no puede ser compatible determinado, es decir, no se puede tener el precio de forma única ni del libro, ni de la calculadora, ni del estuche.


b) Con los descuentos mencionados obtenemos:

y el sistema es:

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes:

Luego el rango de la matriz de coeficientes es 3 y el sistema es compatible determinado dado que el rango de la matriz ampliada es 3 también.
Calculamos la solución del sistema usando la regla de Cramer:

El libro cuesta 38€, la calculadora 15€ y el estuche 4€.

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