Problema 1187

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}m&1&3\\1&m&2\\1&m&3\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}2&2\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}.

a) Discute el rango de A según los valores de m\in\mathbb R.
b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz X para que sea posible la ecuación AX=B?
c) Calcula la matriz X del apartado anterior para m=0.


Solución:

a) Calculamos el determante de A:

\begin{vmatrix}m&1&3\\1&m&2\\1&m&3\end{vmatrix}=3m^2+2+3m-3m-3-2m^2=m^2-1

Determinante que se anula para m=1 y m=-1, luego:

  • Si m\neq1\text{ y }m\neq-1 el rango de A es 3.
  • Si m=1, entonces A=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&1&2\\1&1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=-1\neq0.
  • Si m=-1, entonces A=\begin{pmatrix}-1&1&3\\1&-1&2\\1&-1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\-1&2\end{vmatrix}=5\neq0.

b) Tenemos la ecuación:

A_{3\times3}X_{a\times b}=B_{3\times2}

de donde a=3 y b=2. Las dimensiones de X son 3\times2.


c) Para m=0 tenemos A=\begin{pmatrix}0&1&3\\1&0&2\\1&0&3\end{pmatrix}.
Dado que AX=B, entonces X=A^{-1}B. Calculamos la inversa de A con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=0^2-1=-1

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-3&-3&1\\2&3&-1\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}0&-3&2\\-1&-3&3\\0&1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3&-2\\1&3&-3\\0&-1&1\end{pmatrix}

La matriz X es:

X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}0&3&-2\\1&3&-3\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-4\\8&-4\\-2&2\end{pmatrix}

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