Problema 1188

Sea la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R, f(x)=x^3-6x^2+9x.

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.


Solución:

a) Calculamos los puntos de corte con el eje de abscisas (f(x)=0):

0=x^3-6x^2+9x~;\\\\0=x(x^2-6x+9)

Las soluciones de esta ecuación son x=0 y x=3. Los puntos de corte con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).

Para calcular los máximos y mínimos comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=3x^2-12x+9=0~;\\\\3(x^2-4x+3)=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=3. Caracterizamos estos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

f''(x)=6x-12~;\\\\\bullet~x=1\longrightarrow f''(1)=6-12=-6<0\longrightarrow\text{m\'aximo}\\\\\bullet~x=3\longrightarrow f''(3)=18-12=6>0\longrightarrow\text{m\'inimo}

Tenemos un máximo en (1,f(1))=(1,4), y un mínimo en (3,f(3))=(3,0).

Por último, calculamos el punto de inflexión:

f''(x)=6x-12=0~;\\\\6(x-2)=0

Ecuación cuya solución es x=2. El punto de inflexión tiene coordenadas (2,f(2))=(2,2).


b) Dado que el dominio de f es \mathbb R y conocidos los puntos críticos (x=1,~x=3), estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty).
  • f decrece en x\in(1,3).

Conocido el punto de inflexión en x=2, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en x\in(-\infty,2).
  • f es convexa en x\in(2,+\infty).

Teniendo en cuenta los datos aportados hasta ahora, el esbozo de f debe ser semejante a la siguiente gráfica:

p1188


c) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Calculamos la ecuación de la recta tangente para x_0=2:

\bullet~f(2)=2^3-6\cdot2^2+9\cdot2=2\\\\\bullet~f'(2)=3\cdot2^2-12\cdot2+9=-3

Sustituyendo:

y=-3(x-2)+2~;\\\\\boxed{y=-3x+8}

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