Sea la función ,
.
a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.
Solución:
a) Calculamos los puntos de corte con el eje de abscisas :
Las soluciones de esta ecuación son x=0 y x=3. Los puntos de corte con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).
Para calcular los máximos y mínimos comenzamos calculando los puntos críticos de f:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=3. Caracterizamos estos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:
Tenemos un máximo en , y un mínimo en
.
Por último, calculamos el punto de inflexión:
Ecuación cuya solución es x=2. El punto de inflexión tiene coordenadas .
b) Dado que el dominio de f es y conocidos los puntos críticos
, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:
- f crece en
.
- f decrece en
.
Conocido el punto de inflexión en x=2, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:
- f es cóncava en
.
- f es convexa en
.
Teniendo en cuenta los datos aportados hasta ahora, el esbozo de f debe ser semejante a la siguiente gráfica:
c) La ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa es:
Calculamos la ecuación de la recta tangente para :
Sustituyendo:
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