Problema 1188

Sea la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , $f(x)=x^3-6x^2+9x$ .

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

Solución:

a) Calculamos los puntos de corte con el eje de abscisas $(f(x)=0)$ :

$0=x^3-6x^2+9x~;\\\\0=x(x^2-6x+9)$

Las soluciones de esta ecuación son x=0 y x=3. Los puntos de corte con el eje de abscisas son (0,0) y (3,0).

Para calcular los máximos y mínimos comenzamos calculando los puntos críticos de f:

$f'(x)=3x^2-12x+9=0~;\\\\3(x^2-4x+3)=0$

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=3. Caracterizamos estos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

$f''(x)=6x-12~;\\\\\bullet~x=1\longrightarrow f''(1)=6-12=-6<0\longrightarrow\text{m\'aximo}\\\\\bullet~x=3\longrightarrow f''(3)=18-12=6>0\longrightarrow\text{m\'inimo}$

Tenemos un máximo en $(1,f(1))=(1,4)$ , y un mínimo en $(3,f(3))=(3,0)$ .

Por último, calculamos el punto de inflexión:

$f''(x)=6x-12=0~;\\\\6(x-2)=0$

Ecuación cuya solución es x=2. El punto de inflexión tiene coordenadas $(2,f(2))=(2,2)$ .

b) Dado que el dominio de f es $\mathbb R$ y conocidos los puntos críticos $(x=1,~x=3)$ , estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$