Problema 1189

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, ,

Sea la función f(x)=4-x^2.

a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado D. Calcula su área.
b) La gráfica de la función g(x)=3x^2 divide D en tres partes D_1,\,D_2,\,D_3. Haz un dibujo de los tres recintos.
c) Calcular el área del recinto D_2 que contiene al punto P(0,1).

Solución:

a) f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola concava como y=-x^2 pero trasladada 4 unidades hacia arriba. Su vértice está en (0,4) y corta al eje x en los puntos (2,0) y (-2,0).

p1189

El área D sombreada vale:

\displaystyle D=\int_{-2}^24-x^2~dx=\left[4x-\dfrac{x^3}3\right]_{-2}^2=\\\\=\left(4\cdot2-\dfrac{2^3}3\right)-\left(4\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^3}3\right)=\\\\=8-\dfrac83+8-\dfrac83=\boxed{\dfrac{32}3\text{ u.a.}}

b) La función g(x)=3x^2 es parecida a y=x^2. Tiene su vértice en (0,0) y pasa por los puntos (1,3) y (-1,3).

p1189b

c) Nos piden calcular el área de la región D_2. Primero calculamos donde se cortan f y g:

4-x^2=3x^2~;\\\\4x^2=4~;\\\\x^2=1~;\\\\x=\pm1

Luego, el área D_2 vale:

\displaystyle D_2=\int_{-1}^1(4-x^2)-3x^2~dx=\int_{-1}^14-4x^2~dx=\\\\=\left[4x-\dfrac{4x^3}3\right]_{-1}^1=\\\\=\left(4\cdot1-\dfrac{4\cdot1^3}3\right)-\left(4\cdot(-1)-\dfrac{4\cdot(-1)^3}3\right)=\\\\=4-\dfrac43+4-\dfrac43=8-\dfrac83=\boxed{\dfrac{16}3\text{ u.a.}}

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