Problema 1190

Dados el punto A(2,1,1) y la recta r:~\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\y+z=0\end{array}\right.

a) Calcular un vector director de la recta r.
b) La ecuación del plano π que contiene al punto A y a la recta r.
c) La ecuación de la recta s contenida en π que pasa por A y es perpendicular a r.


Solución:

a) A partir de las ecuaciones implícitas de r obtenemos su vector director:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-0)+\vec\jmath(0-1)+\vec k(1-0)=(1,-1,1)


b) Escribimos el haz de planos que contiene a r:

(x+y-2)+\lambda(y+z)=0

Sustituimos las coordenadas del punto A(2,1,1) en el haz:

(2+1-2)+\lambda(1+1)=0~;\\\\1+2\lambda=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-1}2

Y sustituimos este valor de λ en la ecuación del haz:

(x+y-2)-\dfrac12(y+z)=0~;\qquad\text{multiplicamos por 2}\\\\2(x+y-2)-(y+z)=0~;\\\\2x+2y-4-y-z=0~;\\\\\boxed{\pi:~2x+y-z-4=0}


c) Es necesario que el vector director de s sea perpendicular al vector director de r y al vector normal de π:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=\vec\imath(1-1)+\vec\jmath(2+1)+\vec k(1+2)=(0,3,3)

Dividiendo por 3 tomamos \vec v_s=(0,1,1).
Sabiendo que s pasa por el punto A(2,1,1) entonces la ecuación vectorial de es:

\boxed{s:~(x,y,z)=(2,1,1)+\lambda(0,1,1)}

Ast-MII-O-20-3A

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