Problema 1191

Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1,0,0), B‘(-1,2,2), C(0,3,0) y C‘(0,4,2). Y los planos π al que pertenecen los puntos A, B, C y π’, al que pertenecen los puntos A‘, B‘, C‘.

p1191

Calcula:

a) Las coordenadas de los puntos restantes: A‘, B.
b) La distancia entre los planos π y π’.
c) El volumen del prisma triangular.


Solución:

a) Siendo O(0,0,0), observamos que el vector \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C'B'}. Dado que:

\overrightarrow{C'B'}=(-1,2,2)-(0,4,2)=(-1,-2,0)

entonces \overrightarrow{CB}=(-1,-2,0), y:

\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}~;\\\\B=(-1,-2,0)+(0,3,0)=\boxed{(-1,1,0)}

Observamos también que \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{C'A'}. Dado que:

\overrightarrow{CA}=(1,0,0)-(0,3,0)=(1,-3,0)

entonces \overrightarrow{C'A'}=(1,-3,0), y:

\overrightarrow{C'A'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OC'}~;\\\\A'=(1,-3,0)+(0,4,2)=\boxed{(1,1,-2)}


b) El plano π tiene por vectores directores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}:

\bullet~\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)-(1,0,0)=(-2,1,0)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,0,0)=(-1,3,0)

cuyo vector normal es proporcional a:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-2&1&0\\-1&3&0\end{vmatrix}=\vec k(-6+1)=(0,0,-5)

Multiplicando por \frac{-1}5 tenemos \vec n_{\pi}=(0,0,1). El plano π es, por tanto, de la forma z+D=0. Calculamos D haciendo que π pase por A(1,0,0):

0+D=0~;\\D=0

Luego π es el plano \boxed{z=0}.
Por ser paralelo a π, el plano π’ también es de la forma z+D'=0. Hacemos que el plano π’ se verifique para el punto C‘(0,4,2):

2+D'=0~;\\D'=-2

luego π’ es el plano z+2=0\rightarrow\boxed{z=-2}.

La distancia entre los planos los planos π y π’ es:

d(\pi,\pi')=\dfrac{|0-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\boxed{2\text{ u.l.}}

ver apartado 1.


c) El volumen de un prisma es el área de la base por la altura del prisma.

\boxed{V=A_b\cdot H}

El área de la base es la de un triángulo, \frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2, y la altura del prisma es la distancia entre los planos que contienen a dichas bases, d(\pi,\pi') que, como vimos en el apartado b) es 2.

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,-5)\text{ (como vimos en el apartado b)}\\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+0^2+(-5)^2}=5

El volumen del prisma es:

V=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2\cdot d(\pi,\pi')=\dfrac52\cdot2=\boxed{5\text{ u.v.}}

Otra forma de calcular el volumen de este prisma es calcularlo como la mitad del volumen del paralelepípedo generado por los vectores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA'} siendo

\overrightarrow{AA'}=(1,1,-2)-(1,0,0)=(0,1,-2)

Calculamos el volumen del paralelepípedo como el módulo del producto mixto de los tres vectores mencionados:

V_{pa}=\left|\begin{vmatrix}-2&1&0\\-1&3&0\\0&1&-2\end{vmatrix}\right|=|12-2|=10

Dividiéndolo entre 2 obtendríamos el volumen del prisma de base triangular, 5.

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