Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1,0,0), B‘(-1,2,2), C(0,3,0) y C‘(0,4,2). Y los planos π al que pertenecen los puntos A, B, C y π’, al que pertenecen los puntos A‘, B‘, C‘.
Calcula:
a) Las coordenadas de los puntos restantes: A‘, B.
b) La distancia entre los planos π y π’.
c) El volumen del prisma triangular.
Solución:
a) Siendo O(0,0,0), observamos que el vector . Dado que:
entonces , y:
Observamos también que . Dado que:
entonces , y:
b) El plano π tiene por vectores directores :
cuyo vector normal es proporcional a:
Multiplicando por tenemos
. El plano π es, por tanto, de la forma
. Calculamos D haciendo que π pase por A(1,0,0):
Luego π es el plano .
Por ser paralelo a π, el plano π’ también es de la forma . Hacemos que el plano π’ se verifique para el punto C‘(0,4,2):
luego π’ es el plano .
La distancia entre los planos los planos π y π’ es:
ver apartado 1.
c) El volumen de un prisma es el área de la base por la altura del prisma.
El área de la base es la de un triángulo, , y la altura del prisma es la distancia entre los planos que contienen a dichas bases,
que, como vimos en el apartado b) es 2.
El volumen del prisma es:
Otra forma de calcular el volumen de este prisma es calcularlo como la mitad del volumen del paralelepípedo generado por los vectores siendo
Calculamos el volumen del paralelepípedo como el módulo del producto mixto de los tres vectores mencionados:
Dividiéndolo entre 2 obtendríamos el volumen del prisma de base triangular, 5.
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