Problema 1191

Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con A(1,0,0), B‘(-1,2,2), C(0,3,0) y C‘(0,4,2). Y los planos π al que pertenecen los puntos A, B, C y π’, al que pertenecen los puntos A‘, B‘, C‘.

p1191

Calcula:

a) Las coordenadas de los puntos restantes: A‘, B.
b) La distancia entre los planos π y π’.
c) El volumen del prisma triangular.

Solución:

a) Siendo O(0,0,0), observamos que el vector $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C'B'}$ . Dado que:

$\overrightarrow{C'B'}=(-1,2,2)-(0,4,2)=(-1,-2,0)$

entonces $\overrightarrow{CB}=(-1,-2,0)$ , y:

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}~;\\\\B=(-1,-2,0)+(0,3,0)=\boxed{(-1,1,0)}$

Observamos también que $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{C'A'}$ . Dado que:

$\overrightarrow{CA}=(1,0,0)-(0,3,0)=(1,-3,0)$

entonces $\overrightarrow{C'A'}=(1,-3,0)$ , y:

$\overrightarrow{C'A'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OC'}~;\\\\A'=(1,-3,0)+(0,4,2)=\boxed{(1,1,-2)}$

b) El plano π tiene por vectores directores $\overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}$ :

$\bullet~\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)-(1,0,0)=(-2,1,0)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,0,0)=(-1,3,0)$

cuyo vector normal es proporcional a:

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-2&1&0\\-1&3&0\end{vmatrix}=\vec k(-6+1)=(0,0,-5)$

Multiplicando por $\frac{-1}5$ tenemos $\vec n_{\pi}=(0,0,1)$ . El plano π es, por tanto, de la forma $z+D=0$ . Calculamos D haciendo que π pase por A(1,0,0):

$0+D=0~;\\D=0$

Luego π es el plano $\boxed{z=0}$ .
Por ser paralelo a π, el plano π’ también es de la forma $z+D'=0$ . Hacemos que el plano π’ se verifique para el punto C‘(0,4,2):

$2+D'=0~;\\D'=-2$

luego π’ es el plano $z+2=0\rightarrow\boxed{z=-2}$ .

La distancia entre los planos los planos π y π’ es:

$d(\pi,\pi')=\dfrac{|0-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\boxed{2\text{ u.l.}}$

ver apartado 1.

c) El volumen de un prisma es el área de la base por la altura del prisma.

$\boxed{V=A_b\cdot H}$

El área de la base es la de un triángulo, $\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2$ , y la altura del prisma es la distancia entre los planos que contienen a dichas bases, $d(\pi,\pi')$ que, como vimos en el apartado b) es 2.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,-5)\text{ (como vimos en el apartado b)}\\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+0^2+(-5)^2}=5$

El volumen del prisma es:

$V=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2\cdot d(\pi,\pi')=\dfrac52\cdot2=\boxed{5\text{ u.v.}}$

Otra forma de calcular el volumen de este prisma es calcularlo como la mitad del volumen del paralelepípedo generado por los vectores $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA'}$ siendo