Problema 1193

Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las 2/3 partes de las veces y los delanteros las 3/4 partes de las veces.

a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti?
b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal.

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación tı́pica 1:
F (3.25) = 0.9994, F (3.2917) = 0.9995, F (3.3333) = 0.9996, F (3.375) = 0.9996, F (3.4167) = 0.9997)


Solución:

Sea A el suceso «ser defensa», sea B el suceso «ser medio», sea C el suceso «ser delantero» y sea G el suceso «marcar gol». Hay 10 jugadores entrenando. Del enunciado conocemos las siguientes probabilidades:

  • P[A]=\frac5{10}=\frac12
  • P[B]=\frac3{10}
  • P[C]=\frac2{10}=\frac15
  • P[G/A]=\frac12
  • P[G/B]=\frac23
  • P[G/C]=\frac34

Con estos datos podemos construir el siguiente diagrama de árbol:

p1193

a) Elegido un jugador al azar, la probabilidad de que meta gol es:

P[G]=P[A]\cdot P[G/A]+P[B]\cdot P[G/B]+P[C]\cdot P[G/C]=\\\\=\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac3{10}\cdot\dfrac23+\dfrac15\cdot\dfrac34=\\\\=\dfrac14+\dfrac15+\dfrac3{20}=\dfrac{5+4+3}{20}=\dfrac{12}{20}=\boxed{\dfrac35}


b) En una distribución binomial B(n,p)=B(600,0.6), nos piden la probabilidad de que se metan 400 goles como mucho, P[x\leq400].
Aproximamos la distribución binomial a la normal N(np,\sqrt{npq})=N(360,12), siendo q=1-p. Teniendo en cuenta la corrección por continuidad la probabilidad buscada es:

P[x<400.5]=P\left[z<\dfrac{400.5-360}{12}\right]=P[z<3.375]=\boxed{0.9996}

como se indica en los datos del enunciado.

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