Problema 1194

Considera la ecuación AXA^t=B en donde A=\begin{pmatrix}-2&0\\1&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}, y A^t denota la traspuesta de A.

a) Despeja la matriz X en la igualdad dada.
b) Comprueba que A es invertible y calcula su inversa.
c) Comprueba que (A^{-1})^t=(A^t)^{-1}.
d) Calcula X.


Solución:

a) Despejamos X:

AXA^t=B~;\\\\XA^t=A^{-1}B~;\\\\\boxed{X=A^{-1}B(A^t)^{-1}}


b) La matriz A es invertible si su determinante es distinto de 0:

|A|=\begin{vmatrix}-2&0\\1&1\end{vmatrix}=-2

Luego A es invertible.
Calculamos su inversa con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}

Luego:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2\end{pmatrix}}


c) Dado que A^t=\begin{pmatrix}-2&1\\0&1\end{pmatrix}, entonces:

\text{Adj}A^t=\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2\end{pmatrix}

y:

(A^t)^{-1}=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}

ya que |A^t|=|A|. Dado que A^{-1}=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2\end{pmatrix}, entonces:

(A^{-1})^t=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}

de donde obtenemos que (A^{-1})^t=(A^t)^{-1}.


d) Sustituyendo en X=A^{-1}B(A^t)^{-1}:

X=\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\-1&2\end{pmatrix}\dfrac1{-2}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}=\\\\=\dfrac14\cdot\begin{pmatrix}0&2\\2&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{X=\dfrac14\begin{pmatrix}0&-4\\2&10\end{pmatrix}}

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