Problema 1195

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , , ,

Considera la función f(x)=\dfrac{\text{sen}(x)}x.

a) Calcula la derivada primera.
b) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=\pi.
c) Calcula las asíntotas.
d) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x).

Solución:

a) Utilizamos la regla del cociente:

f'(x)=\dfrac{\cos(x)\cdot x-\text{sen}(x)}{x^2}

b) La pendiente m de la recta tangente a f en el punto x=\pi es:

m=f'(\pi)=\dfrac{\cos(\pi)\cdot\pi-\text{sen}(\pi)}{\pi^2}=\dfrac{-\pi-0}{\pi^2}=\dfrac{-1}\pi

c) El dominio de f es \mathbb R\setminus\{0\}. Comenzamos estudiando si existe asíntota vertical en x=0 (utilizamos la regla de L’Hôpital para resolver la indeterminación 0/0):

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\text{sen}(x)}x=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\cos(x)}1=\dfrac11=1\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\text{sen}(x)}x=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\cos(x)}1=\dfrac11=1

Luego, no tiene asíntota vertical.
Calculamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\text{sen}(x)}x=0

Este límite es 0 ya que si bien \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\text{sen}(x) no existe debido a que \text{sen}(x) es una función oscilante, su resultado está acotado en el intervalo [-1,1]. Al dividir cualquier número de este intervalo por ∞ el resultado es siempre 0. Luego, f tiene asíntota horizontal y su ecuación es y=0.

f no tiene asíntota oblicua.

d) Como vimos en el apartado c), en el cálculo de la asíntota vertical, los limites laterales a x=0 es 1, luego, \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=1.

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Can-MII-O-20-E2

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