Problema 1196

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIHaz de planos, Posiciones relativas, rectas y planosdurán

Se emite un rayo láser desde el punto P = (1, 2, 8) en la dirección del vector $\vec v=(1,2,-3)$ . El plano $-x-y+3z=-8$ determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

a) Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser.
b) Determina la posición relativa de rayo y lámina.
c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcula la ecuación del plano de esta lámina.

Solución:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

$\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=2+2\lambda\\z=8-3\lambda\end{array}\right.$

b) Sustituimos las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano y resolvemos:

$-(1+\lambda)-(2+2\lambda)+3(8-3\lambda)=-8~;\\\\-12\lambda+21=-8~;\\\\-12\lambda=-29~;\\\\\lambda=\dfrac{-29}{-12}$

Dada la solución única de λ concluimos que la recta y el plano se cortan en un punto.

c) Dada la dirección del rayo, $\vec v=(1,2,-3)$ , el haz de planos perpendiculares al rayo es:

$x+2y-3z+D=0$

El plano debe pasar por el origen de coordenadas, O(0,0,0), luego:

$0+2\cdot0-3\cdot 0+D=0~;\\\\D=0$

Luego, el plano buscado es $x+2y-3z=0$ .

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