Problema 1196

Se emite un rayo láser desde el punto P = (1, 2, 8) en la dirección del vector \vec v=(1,2,-3). El plano -x-y+3z=-8 determina la posición de una lámina de grandes dimensiones.

a) Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser.
b) Determina la posición relativa de rayo y lámina.
c) Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcula la ecuación del plano de esta lámina.


Solución:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=2+2\lambda\\z=8-3\lambda\end{array}\right.


b) Sustituimos las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano y resolvemos:

-(1+\lambda)-(2+2\lambda)+3(8-3\lambda)=-8~;\\\\-12\lambda+21=-8~;\\\\-12\lambda=-29~;\\\\\lambda=\dfrac{-29}{-12}

Dada la solución única de λ concluimos que la recta y el plano se cortan en un punto.


c) Dada la dirección del rayo, \vec v=(1,2,-3), el haz de planos perpendiculares al rayo es:

x+2y-3z+D=0

El plano debe pasar por el origen de coordenadas, O(0,0,0), luego:

0+2\cdot0-3\cdot 0+D=0~;\\\\D=0

Luego, el plano buscado es x+2y-3z=0.

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