Problema 1197

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales o superiores a 10 U, en donde U son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma, concentraciones iguales o superiores a 10 U dan un resultado positivo, mientras que concentraciones inferiores a 10 U dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.

a) Calcula la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad de negativo en el test.
b) Calcula qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1%.


Solución:

a) Se trata de un problema de distribución normal N(20,5). Nos piden la probabilidad P[x<10]:

P[x<10]=P\left[z<\dfrac{10-20}5\right]=P[z<-2]=1-P[z<2]=1-0.9772=0.0228

Luego, según la tabla de probabilidades, la probabilidad de que el test de negativo es del 2.28%.


b) Para que el porcentaje sea de solo el 1%:

0.01=1-P[z<-z_0]~;\\\\P[z<-z_0]=0.99

Según la tabla de probabilidades e interpolando obtenemos que -z_0=2.327, de donde z_0=-2.327.
Usando la fórmula de tipificación obtenemos:

\dfrac{x-20}5=-2.327~;\\\\x-20=-11.63~;\\\\x=8.37

Es decir, el test rápido debería detectar concentraciones de al menos 8.37 U para que el 1% de los afectados diese negativo en el test.

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