Problema 1198

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por 1, 3 y 5 diamantes, respectivamente. El rival ha gastado 41 diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es 10.

a) Con la información dada, plantea un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival.
b) Clasifica el sistema.
c) Resuelve el sistema.


Solución:

a) Sea x el número de tanques, sea y el número de submarinos y sea z el número de aviones.
Ha gastado en total 41 diamantes:

x+3y+5z=41

Tiene el doble de submarinos que de tanques:

y=2x

El número de submarinos más el de aviones es 10:

y+z=10

Con todas las ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+5z&=41\\-2x+y&=0\\y+z&=10\end{array}\right.


b) Para clasificar el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

M=\begin{pmatrix}1&3&5\\-2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&3&5&41\\-2&1&0&0\\0&1&1&10\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}1&3&5\\-2&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=1-10+6=-3

Dado que |M|\neq0, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.


c) Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}41&3&5\\0&1&0\\10&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&5\\-2&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{41-50}{-3}=3

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&41&5\\-2&0&0\\0&10&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&5\\-2&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-100+82}{-3}=6

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&41\\-2&1&0\\0&1&10\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3&5\\-2&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{10-82+60}{-3}=4

El rival compró 3 tanques, 6 submarinos y 4 aviones.

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