Problema 1199

📖Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIAsíntotas, Áreas por integración, Dominios, funciones, Integrales indefinidasdurán

Considera la función $f(x)=\frac2{x^2}$ .

a) Calcula el dominio y las asíntotas de f.
b) Halla la primitiva de f.
c) Calcula el área de la región limitada por la función $y=f(x)$ , las rectas $x=1,~x=2$ , y el eje OX de abscisas.

Solución:

a) f es una función racional cuyo dominio es el conjunto de todos lo números reales excepto aquellos que anulan el denominador. En nuestro caso $\mathbb R\setminus\{0\}$ .

Calculamos si tiene asíntota vertical en x=0:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{0^+}=+\infty$

f tiene asíntota vertical de ecuación x=0.

Calculamos si tiene asíntota horizontal:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{\infty}=0$

f tiene asíntota horizontal de ecuación y=0.

b) Se trata de una integral inmediata de tipo potencial:

$\displaystyle\int\dfrac2{x^2}~dx=\int2x^{-2}~dx=\dfrac{2x^{-1}}{-1}=\dfrac{-2}x+k$

c) El área S que se pide es:

$\displaystyle S=\int_1^2\dfrac2{x^2}~dx=\left[\dfrac{-2}x\right]_1^2=\\\\=\dfrac{-2}2-\dfrac{-2}1=\dfrac{-2+4}2=1\text{ u.a.}$

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