Problema 1199

Considera la función f(x)=\frac2{x^2}.

a) Calcula el dominio y las asíntotas de f.
b) Halla la primitiva de f.
c) Calcula el área de la región limitada por la función y=f(x), las rectas x=1,~x=2, y el eje OX de abscisas.


Solución:

a) f es una función racional cuyo dominio es el conjunto de todos lo números reales excepto aquellos que anulan el denominador. En nuestro caso \mathbb R\setminus\{0\}.

Calculamos si tiene asíntota vertical en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{0^+}=+\infty

f tiene asíntota vertical de ecuación x=0.

Calculamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac2{x^2}=\dfrac2{\infty}=0

f tiene asíntota horizontal de ecuación y=0.


b) Se trata de una integral inmediata de tipo potencial:

\displaystyle\int\dfrac2{x^2}~dx=\int2x^{-2}~dx=\dfrac{2x^{-1}}{-1}=\dfrac{-2}x+k


c) El área S que se pide es:

\displaystyle S=\int_1^2\dfrac2{x^2}~dx=\left[\dfrac{-2}x\right]_1^2=\\\\=\dfrac{-2}2-\dfrac{-2}1=\dfrac{-2+4}2=1\text{ u.a.}

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