Problema 1200

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II, Vectores II,

Considera los puntos A = (1, 2, 1), B = (2, 3, −4), C = (4, 3, 2).

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.
b) Halla la ecuación del plano que contiene los tres puntos.
c) Calcula el área del triángulo que forman los tres puntos.

Solución:

a) La recta que pasa por los puntos A y B tiene por vector director:

\vec v=\overrightarrow{AB}=(2,3,-4)-(1,2,1)=(1,1,-5)

Luego, la ecuación vectorial de la recta es:

\boxed{(x,y,z)=(1,2,1)+\lambda(1,1,-5)}

b) El plano que pasa por los puntos A, B y C tiene por vectores directores:

\bullet~\overrightarrow{AB}=(1,1,-5)\\\bullet~\overrightarrow{AC}=(4,3,2)-(1,2,1)=(3,1,1)

La ecuación vectorial del plano buscado es:

(x,y,z)=(1,2,1)+\lambda(1,1,-5)+\mu(3,1,1)

y su ecuación general es:

\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-1\\1&1&-5\\3&1&1\end{vmatrix}=(x-1)(1+5)+(y-2)(-15-1)+(z-1)(1-3)=\\\\=6(x-1)-16(y-2)-2(z-1)=0~;\\\\3(x-1)-8(y-2)-(z-1)=0~;\\\\\boxed{3x-8y-z+14=0}

c) El área S del triángulo que forman los tres puntos es:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-5\\3&1&1\end{vmatrix}=6\vec\imath-16\vec\jmath-2\vec k=(6,-16,-2)

Luego:

S=\dfrac{\sqrt{6^2+(-16)^2+(-2)^2}}2=\boxed{\sqrt{74}\text{ u.a.}}

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Can-MII-O-20-E7

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