a) Determina razonadamente los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa
b) Calcula razonadamente todos los posibles valores x, y, z para que el producto de las matrices y
conmute.
Solución:
a) Aplicamos transformaciones de Gauss para triangular la matriz. El determinante de la matriz original es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular:
Al intercambiar dos filas o columnas el determinante cambia de signo:
Seguimos triangulando la matriz:
El determinante de la matriz es:
Otra forma de calcular el determinante es utilizar el método de los adjuntos de una fila o columna.
La matriz no tiene inversa si su determinante vale 0. El determinante vale 0 si
. En cualquiera de estos tres casos la matriz no tiene inversa.
b) Calculamos los productos CD y DC por separado:
Si ambas matrices conmutan entonces , de donde:
Simplificamos el sistema:
De las primera y cuarta ecuaciones obtenemos y=1, nos quedan las ecuaciones segunda y tercera:
sistema que es equivalente a la ecuación . Para obtener las soluciones de esta ecuación parametrizamos
de donde obtenemos
, con
.
Luego, la matriz C que conmuta con D es:
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