Problema 1202

a) Determina razonadamente los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa

A=\begin{pmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\a&0&1&0\\a&0&2&0\end{pmatrix}

b) Calcula razonadamente todos los posibles valores x, y, z para que el producto de las matrices C=\begin{pmatrix}x&1\\y&z\end{pmatrix} y D=\begin{pmatrix}3&1\\1&-1\end{pmatrix} conmute.


Solución:

a) Aplicamos transformaciones de Gauss para triangular la matriz. El determinante de la matriz original es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular:

\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\a&0&1&0\\a&0&2&0\end{vmatrix}\longrightarrow\left[\begin{array}{c}F_3-aF_1\rightarrow F_3\\F_4-aF_1\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}

Al intercambiar dos filas o columnas el determinante cambia de signo:

\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}\rightarrow\Big[C_2\leftrightarrow C_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}

Seguimos triangulando la matriz:

-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_3+F_2\rightarrow F_3\\F_4+F_2\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&3-2a&2-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[F_4-\dfrac{3-2a}{2-2a}F_3\rightarrow F_4\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&0&\frac{a^2+a-2}{2-2a}\end{vmatrix}

El determinante de la matriz es:

-1\cdot a\cdot(2-2a)\cdot\dfrac{a^2+a-2}{2-2a}=-a(a^2+a-2)

Otra forma de calcular el determinante es utilizar el método de los adjuntos de una fila o columna.

La matriz no tiene inversa si su determinante vale 0. El determinante -a(a^2+a-2) vale 0 si a=0,~a=1,~a=-2. En cualquiera de estos tres casos la matriz no tiene inversa.


b) Calculamos los productos CD y DC por separado:

\bullet~CD=\begin{pmatrix}x&1\\y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+1&x-1\\3y+z&y-z\end{pmatrix}\\\\\bullet~DC=\begin{pmatrix}3&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&1\\y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x+y&3+z\\x-y&1-z\end{pmatrix}

Si ambas matrices conmutan entonces CD=DC, de donde:

\left\{\begin{array}{c}3x+1=3x+y\\x-1=3+z\\3y+z=x-y\\y-z=1-z\end{array}\right.

Simplificamos el sistema:

\left\{\begin{array}{c}y=1\\x-z=4\\4y=x-z\\y=1\end{array}\right.

De las primera y cuarta ecuaciones obtenemos y=1, nos quedan las ecuaciones segunda y tercera:

\left\{\begin{array}{c}x-z=4\\x-z=4\end{array}\right.

sistema que es equivalente a la ecuación x-z=4. Para obtener las soluciones de esta ecuación parametrizamos z=\lambda de donde obtenemos x=4+\lambda, con \lambda\in\mathbb R.

Luego, la matriz C que conmuta con D es:

\boxed{C=\begin{pmatrix}4+\lambda&1\\1&\lambda\end{pmatrix}}

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