a) Determina razonadamente los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa
b) Calcula razonadamente todos los posibles valores x, y, z para que el producto de las matrices 
Solución:
a) Aplicamos transformaciones de Gauss para triangular la matriz. El determinante de la matriz original es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular:
![\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\a&0&1&0\\a&0&2&0\end{vmatrix}\longrightarrow\left[\begin{array}{c}F_3-aF_1\rightarrow F_3\\F_4-aF_1\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%26a%2B1%262%261%5C%5C0%262%261%26a%5C%5Ca%260%261%260%5C%5Ca%260%262%260%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Clongrightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7DF_3-aF_1%5Crightarrow+F_3%5C%5CF_4-aF_1%5Crightarrow+F_4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%26a%2B1%262%261%5C%5C0%262%261%26a%5C%5C0%26-a%28a%2B1%29%261-2a%26-a%5C%5C0%26-a%28a%2B1%29%262-2a%26-a%5Cend%7Bvmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\a&0&1&0\\a&0&2&0\end{vmatrix}\longrightarrow\left[\begin{array}{c}F_3-aF_1\rightarrow F_3\\F_4-aF_1\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}")
Al intercambiar dos filas o columnas el determinante cambia de signo:
![\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}\rightarrow\Big[C_2\leftrightarrow C_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%26a%2B1%262%261%5C%5C0%262%261%26a%5C%5C0%26-a%28a%2B1%29%261-2a%26-a%5C%5C0%26-a%28a%2B1%29%262-2a%26-a%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5BC_2%5Cleftrightarrow+C_4%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow-%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%261%262%26a%2B1%5C%5C0%26a%261%262%5C%5C0%26-a%261-2a%26-a%28a%2B1%29%5C%5C0%26-a%262-2a%26-a%28a%2B1%29%5Cend%7Bvmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\begin{vmatrix}1&a+1&2&1\\0&2&1&a\\0&-a(a+1)&1-2a&-a\\0&-a(a+1)&2-2a&-a\end{vmatrix}\rightarrow\Big[C_2\leftrightarrow C_4\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}")
Seguimos triangulando la matriz:
![-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_3+F_2\rightarrow F_3\\F_4+F_2\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&3-2a&2-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[F_4-\dfrac{3-2a}{2-2a}F_3\rightarrow F_4\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&0&\frac{a^2+a-2}{2-2a}\end{vmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=-%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%261%262%26a%2B1%5C%5C0%26a%261%262%5C%5C0%26-a%261-2a%26-a%28a%2B1%29%5C%5C0%26-a%262-2a%26-a%28a%2B1%29%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7DF_3%2BF_2%5Crightarrow+F_3%5C%5CF_4%2BF_2%5Crightarrow+F_4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow-%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%261%262%26a%2B1%5C%5C0%26a%261%262%5C%5C0%260%262-2a%262-a%28a%2B1%29%5C%5C0%260%263-2a%262-a%28a%2B1%29%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Crightarrow%5Cleft%5BF_4-%5Cdfrac%7B3-2a%7D%7B2-2a%7DF_3%5Crightarrow+F_4%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow-%5Cbegin%7Bvmatrix%7D1%261%262%26a%2B1%5C%5C0%26a%261%262%5C%5C0%260%262-2a%262-a%28a%2B1%29%5C%5C0%260%260%26%5Cfrac%7Ba%5E2%2Ba-2%7D%7B2-2a%7D%5Cend%7Bvmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&-a&1-2a&-a(a+1)\\0&-a&2-2a&-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_3+F_2\rightarrow F_3\\F_4+F_2\rightarrow F_4\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&3-2a&2-a(a+1)\end{vmatrix}\rightarrow\left[F_4-\dfrac{3-2a}{2-2a}F_3\rightarrow F_4\right]\rightarrow\\\\\rightarrow-\begin{vmatrix}1&1&2&a+1\\0&a&1&2\\0&0&2-2a&2-a(a+1)\\0&0&0&\frac{a^2+a-2}{2-2a}\end{vmatrix}")
El determinante de la matriz es:
Otra forma de calcular el determinante es utilizar el método de los adjuntos de una fila o columna.
La matriz no tiene inversa si su determinante vale 0. El determinante 
b) Calculamos los productos CD y DC por separado:
Si ambas matrices conmutan entonces 
Simplificamos el sistema:
De las primera y cuarta ecuaciones obtenemos y=1, nos quedan las ecuaciones segunda y tercera:
sistema que es equivalente a la ecuación 
Luego, la matriz C que conmuta con D es:
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