Problema 1203

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a\in\mathbb R:

\left\{\begin{array}{rl}ax-ay-z&=a\\ax-ay&=a\\ax+2y-z&=1\end{array}\right.

b) Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2, si es posible.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}a&-a&-1\\a&-a&0\\a&2&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}a&-a&-1&a\\a&-a&0&a\\a&2&-1&1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes para estudiar su rango:

\begin{vmatrix}a&-a&-1\\a&-a&0\\a&2&-1\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}1&-a&-1\\1&-a&0\\1&2&-1\end{vmatrix}=-a\cdot\begin{vmatrix}1&-a&1\\1&-a&0\\1&2&1\end{vmatrix}=\\\\=-a(-a+2+a+a)=-a(a+2)

Determinante que se anula para a=0 y a=-2, luego:

  • Si a\neq0\text{ y }a\neq-2 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0 entonces M=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\0&2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&-1\\2&-1\end{vmatrix}=2\neq0.
    El rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\0&2&-1&1\end{pmatrix} también es 2 ya que tiene una fila de ceros, luego, el sistema es compatible indeterminado.

  • Si a=-2 entonces M=\begin{pmatrix}-2&2&-1\\-2&2&0\\-2&2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada M^*=\begin{pmatrix}-2&2&-1&-2\\-2&2&0&-2\\-2&2&-1&1\end{pmatrix}:
    \begin{vmatrix}2&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&1\end{vmatrix}=4+4+2-4=6\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=2 el sistema es compatible determinado. El determinante de la matriz de coeficientes es -2(2+2)=-8.
Calculamos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-2&-1\\2&-2&0\\1&2&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-2&-1\\2&-2&0\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{4-4-2-4}{-8}=\dfrac34

y=\dfrac{\begin{vmatrix}2&2&-1\\2&2&0\\2&1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-2&-1\\2&-2&0\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{-4-2+4+4}{-8}=\dfrac{-1}4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}2&-2&2\\2&-2&2\\2&2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-2&-1\\2&-2&0\\2&2&-1\end{vmatrix}}=\dfrac{0}{-8}=0

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