Problema 1203

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro :

b) Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2, si es posible.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes para estudiar su rango:

Determinante que se anula para a=0 y a=-2, luego:

  • Si entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=0 entonces cuyo rango es 2 ya que .
    El rango de la matriz ampliada también es 2 ya que tiene una fila de ceros, luego, el sistema es compatible indeterminado.

  • Si a=-2 entonces cuyo rango es 2 ya que .
    Calculamos el rango de la matriz ampliada :

    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=2 el sistema es compatible determinado. El determinante de la matriz de coeficientes es -2(2+2)=-8.
Calculamos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:

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