Problema 1204

Dada la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac3{x-2}&\text{si}&x<2\\\\\cos(\pi x)&\text{si}&2\leq x\leq3\\\\\dfrac{\ln(x-2)}{3-x}&\text{si}&x>3\end{array}\right.

a) Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.
b) Calcula razonadamente el siguiente límite: \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{xe^{-x}}{1+2x-\cos(x^2)}.


Solución:

a) La función parcial y=\frac3{x-2} está definida y es continua para todo x\neq2, en particular para x<2. La función y=\cos(\pi x) lo está en todo \mathbb R, en particular en [2,3]. Y y=\frac{\ln(x-2)}{3-x} lo está en (2,3)\cup(3,+\infty), en particular para x>3. Luego f está definida en \mathbb R.
Queda demostrar si f es continua en x=2 y en x=3.

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\cos(\pi x)=1\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac3{x-2}=\dfrac3{0^-}=-\infty\\\\\bullet~f(2)=\cos(2\pi)=1

En x=2, la función f presenta una discontinuidad de salto infinito.

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac{\ln(x-2)}{3-x}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac{\frac1{x-2}}{-1}=\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac{-1}{x-2}=\dfrac{-1}1=-1\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}\cos(\pi x)=\cos(3\pi)=-1\\\\\bullet~f(3)=\cos(3\pi)=-1

En x=3, la función f es continua.


b) Como en el apartado a), utilizamos la regla de L’Hôpital para resolver la indeterminación 0/0.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{xe^{-x}}{1+2x-\cos(x^2)}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{e^{-x}+xe^{-x}(-1)}{2+\text{sen}(x^2)\cdot2x}=\boxed{\dfrac12}

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